Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
1. ВВЕДЕНИЕ
221
неизбежно участвовали как кратчайшие пути, соединяющие пары точек. Но при этом понятие «параллельные прямые» вызывало трудности в связи с невозможностью проверить с полной достоверностью, что две прямые не пересекаются. И несколько вычурная форма, которую придал Евклид аксиоме о параллельных (см. конец § 9), заставляла думать, что речь, скорее, идет о еще недоказанном следствии других аксиом, чем о некоторой физической очевидности. Для отличения ее от других аксиом долго использовался термин «постулат» *).
Поэтому изложение геометрии начиналось со свойств, не зависящих от этой аксиомы (предложения 1—26 первой книги Евклида). Сохранялась надежда доказать ее от противного; для этого нужно было долго изучать логические следствия ее отрицания в поисках противоречия. Однако вывести пятый постулат Евклида из остальных аксиом не удавалось. Со времен Евклида и до наших дней можно насчитать сотни «доказательств» этого постулата2); многие математики, и среди них весьма крупные, занимались этой проблемой. Из наиболее близких к современности и наиболее известных упомянем лишь Карно, Лапласа, Больцано, Эйлера, Лагранжа и особенно Фурье (1768—1830). Со временем, в начале XIX в., их постоянные неудачи и влияние Гаусса (1777—1855) привели к сомнениям в возможности доказать такими средствами пятый постулат.
Наконец, около 1830 г., почти одновременно Янош Бойаи и Н. И. Лобачевский 3) дали систематическое построение «неевклидовой геометрии», начатое Сак-кери и Лежандром. Однако вера в логическую необ-
1J Термин «постулат» введен самим Евклидом; у него девять аксиом и пять постулатов. — Прим. перев.
2) История попыток доказать пятый постулат Евклида весьма полно изложена в книге TPN], где рассказано о страстях, кипевших вокруг этой проблемы. Подробный анализ этого труда дан нами в июньском номере за 1987 г. журнала «Роиг Ie science».
3) Приоритет Н. И. Лобачевского, равно как и полная самостоятельность Яноша Бойаи, прочно установлены (см. Po-зенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии., ¦^- M.: Наука, 1976). — Прим. перев.
222
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ходимость постулата Евклида так сильно укоренилась в умах, что теории Бойаи и Лобачевского сначала вызвали недоверие, переходящее в возмущение. Полемика, возникшая в связи с этой геометрией, продолжалась до 1870 г.
Проблема получила полное решение лишь после того, как удалось установить непротиворечивость неевклидовой геометрии; построение «моделей» этой геометрии Бельтрами (1835—1900), Клейном (1849— 1925) и Пуанкаре (1854—1912) показало, что эта непротиворечивость равносильна непротиворечивости аксиоматики действительных чисел. Неевклидова геометрия оказывалась столь же состоятельной, что и евклидова. В конце XIX в. она выступила как частный случай геометрии римановых пространств постоянной кривизны, другим примером которой может служить сферическая геометрия, и не могла более быть оспорена.
Одновременно начал развиваться интерес к основаниям евклидовой геометрии, и в 1899 г. Давид Гильберт дал в своих «Основаниях геометрии» (см. [HI — RO]) первую полную систему аксиом, которую можно положить в основу этой геометрии. Тем самым была оправдана теория Евклида и ее преподавание, которое вплоть до 1970 г. велось под влиянием его «Начал».
Хотя мы теперь действительно освободились от исторически сложившегося недоверия к аксиоме Евклида о параллельных, все же небесполезно получить четкое представление о возможном построении геометрии на основе метрических свойств, несомненно более ощутимых и чаще употребляемых, чем аффинные свойства.
С другой стороны, небезынтересно убедиться, что в рамках теории метрических пространств имеются другие свойства, эквивалентные аксиоме Евклида о параллельных (например, существование прямоугольника); становятся понятными ценность задач на построение, которые предлагаются ученикам, и то внимание, которое уделяется изучению «простых фигур»: менее абстрактные, чем свойство параллельных,
2. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
223
свойства этих фигур составляют на деле надежную основу для обучения геометрии.
На последующих страницах мы изложим аксиоматику метрической геометрии, следуя исторически сложившемуся пути (т. е. откладывая по мере возможности введение аксиомы о параллельных) и оставаясь как можно ближе к преподаванию начал геометрии. Затем мы обсудим различные эквивалентные варианты пятого постулата Евклида. Наконец, в завершение мы опишем простую модель гиперболической геометрии. Подробнее все это изложено в работах [HI — RO], [EV], [EF], [BK], [KE].
2. АКСИОМЫ МЕТРИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
В своей аксиоматике евклидовой плоскости Гильберт воссоздает геометрию Евклида, не вводя никаких аксиом, относящихся к «геометрической» или «числовой прямой»; его аксиоматика содержит полное построение поля действительных чисел под именем «исчисления отрезков», основанное на аксиомах порядка, конгруэнтности и непрерывности (см. [HI — RO]). В действительности для первых математиков построение R тесно связывалось со свойствами евклидовой плоскости: сначала доказывалось, что длины (определяемые как классы эквивалентности отрезков) составляют измеримую величину; затем шла теорема Фалеса, позволяющая строить «четвертое пропорциональное», что приводило к структуре поля после выбора единицы длины. Наконец, в большей или меньшей степени уточнялась природа подполей R.
