Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Структура тела на К
Мы уже знаем, что (K9+)—абелева группа и Л = /С\{сэ} — группа по отношению к композиции отображений. Для того чтобы доказать, что (/(,+, °) — тело9 достаточно обосновать распределительные законы:
Предложение 7.5. Для любых элементов K9 р, vG <є К выполняются равенства
{X + ii)v = Xv + pv (5) и v(X + \i) = vX + vp. (6)
->
Доказательство. Для любого и є по определению суммы Я, + р, имеем
(A, + M-) = (А, + р.) о V (н) =
= Я о V (и) + р о vu = A,vw + рш,
т. е. выполнено (5). Точно так же, если v ф со, то,
применяя (1) при ft = v, имеем
[V (X+11)]U = V(X (U)+ VL(U)) =
= V о X (и) + V о р, (и) = vA,# + vpw,
198
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
т. е. выполнено (6). При V = O) результат тривиален. ?
Теперь может быть сформулирована
Р> Теорема 7.6. Пусть дезаргова плоскость аффинного типа, H — группа векторных гомотетий и
->
К = H U {со}, где со — нулевое отображение 9. Тогда
a) если сложение в К определено формулой (4),
то (K1 +, °) есть тело с нулевым элементом со;
-> ->
b) внешнее умножение КУк9->91 (X1 и) ь-> X (и)
определяет на группе (!P1 +) структуру векторного пространства над К размерности 2.
Доказательство. Утверждение а) вытекает из пре-
дыдущего. Соотношения (2) и (4) показывают, что 9
есть векторное пространство над К. Наконец, легко
видеть, что если U1 V — два неколлинеарных вектора,
->
то всякий вектор w из 9 единственным образом разлагается в сумму некоторого вектора X1 коллине^р-ного U1 и вектора у, коллинеарного v. Тогда предложение 7.3 показывает, что найдется единственная пара (X1 \х) є /CX K1 такая, что х = Xu и у = [Xv1 откуда вытекает единственность разложения w = Xu +
-|- \xv. Этим устанавливается, что размерность 9 равна 2. ?
> Следствие. Всякая дезаргова плоскость аффинного типа 9 допускает структуру аффинной плоскости над ассоциированным телом К.
->
Доказательство. Прежде всего группа (9і, +) Действует на 9> с помощью трансляций ти просто транзитивно (см. § 3). С другой стороны, если А, А'— две различные точки какой-либо прямой S) в 9, то предыдущее исследование показывает, что S) есть множество точек M1 таких, что AM = XAA', где X пробегает К. Таким образом, «прямые» 9 совпадают с прямыми аффинной структуры, определенной на 9 дей-->
ствием 9.
7. построение тела
199
> В заключение приведем формулировку в краткой форме: для того чтобы плоскость аффинного типа была аффинной плоскостью, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла аффинной аксиоме Де-зарга (D).
В самом деле, необходимость условия нам известна.
Возврат к проективному случаю
Из полученных результатов легко выводится
^ Теорема 7.7. Для того чтобы плоскость проективного типа была проективным пространством размерности 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая аксиома:
(ДР) (Проективная аксиома Дезарга.) Если (ABC) и (A'В'С) — такие два треугольника, что прямые (AA'), (BB') и (CC) различны и имеют общую точку О, то точки P = (BC)(](B'C)t Q = (CA)Ci(CA') и R = (AB)O(A'В') коллинеарны.
Доказательство. Мы знаем, что условие необходимо (теорема IV. 10.1); обратно, если условие выполнено и А — какая-нибудь прямая в П, то множество П\А обладает структурой плоскости аффинного типа, удовлетворяющей аксиомам (d) и (D). Следовательно, П\А есть аффинная плоскость и П — проективная плоскость.
Замечания. 1) В действительности достаточно, чтобы П\А удовлетворяла аксиоме (D), что приводит лишь к предположению, что свойство (DP) выполнено, если точки Q, R принадлежат заданной прямой А, а точка О ей не принадлежит.
2) Для того чтобы плоскость П\А была плоскостью трансляций, достаточно предположить справедливость (DP) лишь при условии, что точка О принадлежит прямой (QR). Плоскости проективного типа, удовлетворяющие этому ослабленному предположению (называемому малой проективной аксиомой Дезарга), изучала Р. Муфанг. Они называются «альтернативными плоскостями» в связи с природой ал-
200
гл. v. аксиоматическое построение
гебраической структуры, которую они индуцируют (см. [PI], [ST]).
Напомним, наконец, что свойство Фано (см. предложение IV. 7.3) позволяет выяснить, будет ли тело, ассоциированное с дезарговой плоскостью, характеристики 2 или нет.
8. ПЛОСКОСТЬ ПАППА—ПАСКАЛЯ
> Определение 8.1. Плоскость Э> аффинного типа называется папповой (или паскалевой), если она удовлетворяет следующей аксиоме:
(PA) (Аффинная аксиома Паппа.) Если (А, В, С) и (A', В', С)— две различные тройки коллинеарных точек, то соотношения (AB')W(BA') и (AC)W(CA') влекут (BC)W(CB').
По предыдущему исследованию и теореме IV. 11.1 мы знаем, что всякая плоскость аффинного типа, удовлетворяющая аксиоме Дезарга (D) и аксиоме Паппа (РА), есть аффинная плоскость над коммутативным телом (т. е. полем). В действительности, как мы увидим далее, аксиома (PA) влечет и аксиому (D).
^ Теорема 8.1 (Гессенберга). Каждая паппова плоскость является дезарговой (а значит, и плоскостью трансляций).
