Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Это утверждение легко вытекает из P4. Наконец, аксиома P3 превращается в
Рз Через любую точку в П проходит не менее трех различных прямых.
Это утверждение следует из P3 и P4. ?
Итак, точки и прямые в плоскости проективного типа играют аналогичные роли, что выявляет также
Предложение 1.7. Если (11,57)—конечная плоскость проективного типа (т. е. такая, что П — конечное множество), то и S — конечное множество той же мощности, что и П (эта мощность ^7 по предложению 1.1).
Напротив, для плоскостей аффинного типа понятия точки и прямой не перестановочны.
2. ДИЛАТАЦИИ ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ТИПА
В дальнейшем мы введем (§ 3 и 5) аксиомы, позволяющие перейти от общей структуры «плоскости аффинного типа» к более специальной «аффинной
176
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
плоскости над телом»; мы увидим тогда, что эти аксиомы равносильны существованию достаточно широкой группы преобразований плоскости, состоящей из трансляций и гомотетий. Чтобы облегчить изложение, мы изучим эти преобразования с самого начала, не зная, существуют ли среди них отличные от тождественного.
> Определение 2.1. Пусть 9—плоскость аффинного типа. Дилатацией 9 мы назовем биекцию 9 на SP9 такую, что для любой пары различных точек (А, В) прямая (f(A)f(B)) параллельна прямой (AB).
Очевидно, что тождественное преобразование есть дилатация и что дилатации 9 образуют группу.
Предложение 2.1. Если f — дилатация SP9 то каждая прямая SD9 содержащая некоторую точку M и ее образ f(M)9 устойчива относительно / (т. е. f(S)) = 2=2)). В частности, любая прямая, проходящая через неподвижную точку f, устойчива при действии f.
Доказательство. Пусть M є SP. Если / (M) Ф M9 обозначим через SD прямую (Al/ (Af)); если же / (M) = M9 то пусть SD — любая прямая, проходящая через М. Для всякой точки P ^ SD \ {M] прямая (/(M) f (P)) должна быть параллельна прямой (MP)1 т. е. SD1 и, следовательно, совпадает с SD\ отсюда f (P)^SD и мы имеем включение \(SD)(zlSD.
Аналогично, если P ^SD\{f (M)} и f~l (P) — прообраз P1 то прямая (Af/"1 (P)) должна быть параллельной прямой (f (M)P)9 т. е. SD9 и потому совпадет с SD9 откуда f~[ (P)^SD и / (SD) zd SD. Окончательно имеем / (SD) = SD.
Предложение 2.2. Дилатация, допускающая две различные неподвижные точки, сводится к тождественному преобразованию.
Доказательство. Пусть А, В — две различные неподвижные точки дилатации f. По предложению 2.1 любая прямая, проходящая через А или В, устойчива при каждая точка M плоскости <Р9 не принадлежа-
2. ДИЛАТАЦИИ ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ТИПА 177
щая прямой (АВ)У является единственной общей точкой пары устойчивых прямых (AM)9 (BM), откуда и следует, что f (M) = М.
Выбрав такую точку Му мы покажем (теми же рассуждениями), что любая точка, не лежащая на прямой (AM)1 неподвижна при отображении f; тем самым любая точка плоскости 9 остается неподвижной при дилатации f. ?
> Определение 2.2. Пусть <Р—плоскость аффинного типа. Дилатация без неподвижных точек называется трансляцией; дилатация с одной неподвижной точкой / — гомотетией с центром I. Наконец, тождественное преобразование одновременно рассматривается как трансляция и как гомотетия с произвольным центром.
Свойства трансляций
Предложение 2.3. Если т — трансляция, отличная от Id^, то прямые (Мх(М))у где M пробегает <Р, параллельны.
Доказательство. Пусть Му P — две точки 9. Если бы устойчивые прямые (Mx(M)) и (Pt(P)) имели одну общую точку, то она была бы неподвижной при т, что противоречит предположению. Итак, указанные прямые параллельны.
Следствие. Если т — трансляция, отличная от Id^, то для любых двух точек M1 P на 9 либо четыре точки M1 P1 т(M)1 x (P) коллинеарны, либо (M1 х(М)у г(P), P)—параллелограмм.
Действительно, (MP) Il (т (M) х (P)) и (Mx (M)) \\ W(Px(P)) (см. рис. 3).
Предложение 2.4. Для любой пары точек (A1 А') плоскости SP существует не более одной трансляции т, такой, что x(А) = А'.
Доказательство. При Л' = Л результат тривиален (т — тождественное отображение), поэтому предположим, что А' ф A1 и обозначим через 2) прямую (AA'). Образ Мг любой точки МєЛ2) полностью опре-
178
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
делен условием «(ЛA'M'M) — параллелограмм». Фиксируем такую точку М\ теперь образ P' каждой точки P є2) полностью определен условием «(MM'P'P) — параллелограмм» (рис. 4). Итак, задание образа А' = % (А) определяет т. ?
Предложение 2.5. Трансляции плоскости аффинного типа 9 образуют группу.
Доказательство. Пусть а, т — две трансляции 9 и ф Z=T-1O о. Ясно, что ф — дилатация (так как дила-тации образуют группу). Если <р допускает неподвиж-
P_X(P) м _M'
ную точку Л, то о(А) = %оф(Л) = т(Л), откуда о = т по предложению 2.4 и cp = Id^. Итак, ф либо не имеет неподвижных точек, либо совпадает с Id^; в обоих случаях ф — трансляция. ?
Свойства гомотетий
Если f — гомотетия с центром /, отличная от Id^, то образ произвольной точки МєА{/} принадлежит устойчивой прямой (/M) (предложение 2.1). Отсюда выводится
Предложение 2.6. Если /, Л, А' — три коллинеар-ные точки 9У причем Л ф Іу А' Ф Iy то существует не более одной гомотетии f с центром /, такой, что
