Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Обратно, если P(E) — проективная плоскость и (ей e2l е$)—базис E1 то мы сводим дело к предыдущему случаю, отправляя в бесконечность проективную прямую А с уравнением х + г/+ 2 = О в этом базисе и выбирая в качестве аффинного репера в Р(?)\А репер (A = P(Cx)1 В = р(е2)9 С = р(еъ)).
> Это замечание позволит нам одновременно рассматривать задачи аффинной геометрии в 3і и проективной геометрии в 3>. Ради краткости точка с однородными координатами (х, у9 г) в базисе (а) будет обозначаться b (X1 у9 z).
Уравнения прямых
В указанных выше обозначениях проективные прямые в & индуцируются векторными плоскостями в Е\ следовательно, это подмножества IP1 допускающие в базисе (ei) уравнение вида ха + */? + zy = 0, где (а, ?, v)e /(3\{0, О, О}. Бесконечно удаленная прямая в 3* снова появляется при а = ? = у.
Прямыми, проходящими через А = р(е\)9 являются те, которые допускают уравнение вида r/? + zy —
9. ПРОЕКТИВНАЯ5' П ЛОСїСОбїЬЇ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ Й МЕНЕЛАЯ ПИ
~ 0; точка пересечения такой прямой с прямой (BC)9 имеющей уравнение х — 0, есть точка 6(0, ?_1,—Y^1*) • Аналогично характеризуются прямые, проходящие через В = р(е2) или С — Р(?з).
Заметим далее, что всякая точка P прямой (ВС), отличная от C1 допускает однородные координаты вида (0, 1,—X) и что при X ф 1 скаляр X определен
в аффинной плоскости 3і условием PB = XPC Если же X = 1, то точка 6(0, 1,—1) есть бесконечно удаленная точка прямой (ВС). Отсюда легко получается
> Теорема 9.1. Пусть P = 0(0, lL—X), Q = b(—р, 0,1), R = b(l,—V, 0) — три точки 3P9 взятые соответственно на прямых (BC)1 (CA), (AB) и отличные от Л, B1 С.
a) Для того чтобы прямые (АР), (BQ) и (CR) имели в & общую точку, необходимо и достаточно,
ЧТОбы X[IV = —1.
b) Для того чтобы точки Р, Q1 R лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы X\xv = 1.
Доказательство, а) Прямые ЦАР), {BQ), {CRj представимы уравнениями
z + уХ = 0, X + z\x = 0, у + xv = 0.
Очевидно, что они имеют общую точку тогда и только тогда, когда X\xv = —1.
b) Точки P1 Q1 R лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют три не равных одновременно нулю скаляра а, ?, y» таких, что координаты каждой из точек P1 Q1 R удовлетворяют уравнению ха + У$ + zy — 0» откуда получаем условия
? —^y--0, y — pa = 0, a — v? = 0, и ненулевая тройка (a, ?, у), удовлетворяющая этим
УСЛОВИЯМ, Существует ЛИШЬ При ^JuIV = 1. ?
Эта теорема очевидным образом обобщает теоремы Чевы (утверждение а)) и Менелая (утверждение Ь)). Она имеет место в случае произвольного тела.
> Обсуждение. При желании можно дать чисто аффинную формулировку. Для этого нужно ограничиться
156 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
случаем, когда P1 Q1 R лежат в 59, и определить скаляры X1 ja, V соотношениями
PB = XPC9 QC = ixQAt RA = vRB.
Утверждение Ь) сохраняется без изменений, а утверждение а) заменяется следующим:
а') Для того чтобы прямые [AP)1 (BQ)1 (CR) пересекались в одной точке (соотв. были параллельны)! в 9і, необходимо и достаточно, чтобы X\xv = —1, где
р, ф 1 — X"1 (соотв. ц=1— X"1 и v = (l— Я)""1).
Действительно, если XjLiV = —1, то точка пересечения прямых (AP)1 (BQ)1 (CR) есть 6(1,— v, VX)1 и эта точка лежит на бесконечности, если |ы = 1 — Я,""1
От теоремы Менелая к теореме Чевы
Заметим, что при любом X^K точки P =» b(0, I1 —X) и = 6(0, 1Д) гармонически сопря-
А
Рис. 8
0«;в/ш относительно ? и С; в самом деле, четверка (B1 C1 P1 P') является образом гармонической четверки (0, сю, —X1 X) при томографии P1 (К) на прямую (BC)1 заданной условиями у (X) = 6(0, 1Д), если Я є и ф (оо) == С (см. § 6).
Полагая по-прежнему Q = b (—0, 1) и R = C=O(I,— v, 0), мы увидим, что отношение «точки P9 Q1 R коллинеарны» равносильно отношению «прямые (AP') f (BQ)1 (CR) проходят через одну точку» (см. рис. 8): мы вновь приходим здесь к построению,
so. теорема дезарга
157
гармонически сопряженной с P точки относительно (В, C)1 которое было дано в § 7.
Аналогичную эквивалентность мы получим, если вместо замены P на P' заменим Q на Q' = o(fi,0, 1) (гармонически сопряженную с Q относительно (C1A)) или R на R' = b(X1 v, 0) (гармонически сопряженную с R относительно (A1B)). Кроме того, отношение «P1 Q, R коллинеарны» равносильно «прямые (AP'), (BQ'), (CR') проходят через одну точку».
Если основное поле К имеет характеристику 2, то P = Р\ Q в= Q', R = R'f и мы вновь приходим к конфигурации Фано (см. § 7, рис. 7).
10. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Пусть П — проективная плоскость над произвольным телом К, для определенности — левая. Напомним, что ради краткости мы обозначаем точку пересечения двух проективных прямых (AB) и (CD) через (AB)O(CD); условимся также, что слово «треугольник» обозначает тройку неколлинеарных точек.
Проективная формулировка теоремы Дезарга
^ Теорема 10.1. Пусть (A1 B1 С) и (A', В\ С') —два треугольника проективной плоскости П, такие, что прямые (AA'), (BB'), (CC) все различны. Для того чтобы они имели общух точку, необходимо и достаточно, чтобы точки P = (ВС)[)(В'С), Q = (CA)O 0(CA'), R = (АВ)[)(А'В') лежали на одной прямой (см. рис. 9).
