Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Эта теорема аналогична предложению III. 4.8, но здесь нет необходимости предполагать, что К Ф Z/2Z.
> Определение 12.11J. Пусть P(E)1 P(F)-ABa проективных пространства. Коллинеацией P(E) на P(F) называется такая биекция, что образы любых трех коллинеарных точек P(E) коллинеарны в P(F).
Предложение 12.2. Если f: P (E)-+ P (F) — колли-неация, то прообраз f~l(L) проективного подпространства L пространства P(F) является проективным подпространством в P(E).
Доказательство. Пусть Л, В — две точки из f~l(L) и С — точка на прямой (AB). Так как / — коллинеа-ция, точка f(C) лежит на прямой (f(A)f(B)) и, значит, содержится в L. Отсюда вытекает, что прямая (AB) принадлежит f~l(L), что и доказывает утверждение. ?
Предложение 12.3. Пусть P(E), P(F) — два проективных пространства одной и той же конечной размерности п и /: P (E)-+ P (F)— коллинеация. Тогда образ каждой проективной прямой из P(E) при отображения / есть проективная прямая в P(F).
Доказательство. Пусть Л—прямая в P(E). Так как f—коллинеация, то образ А содержится в некоторой прямой А' пространства P (F) (прямой, соединяющей
*) Часто дают и другое определение коллинеации, но эквивалентное ему в случае конечной размерности (см. предложение 12.7).
166 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
образы двух точек А). Остается доказать, что /(А) = = А'.
Обозначим через q каноническую проекцию F* на P(F). В векторном пространстве F легко построить строго возрастающую последовательность (ХЇ9 ..., Xn) векторных подпространств F9 таких, что dimXk = k+l при k=l9 2, п9 первый член которой X1 — плоскость, индуцирующая прямую А'; пусть X1 = q~l (AOU {0} (действуем далее по индукции, выбирая ak^F\Xk и полагая Xk+{ = = Vect (Xk U {я*}))- Имеем, очевидно, Xn = F.
Эта последовательность (Х{9 Xn) индуцирует строго возрастающую последовательность (Д{, Д?, ... ...9Ап) проективных подпространств* P(F)9 такую, что А( = А', An = P(F).
Так как / биективно и в силу предложения 12.2 множества &k = f~l{Ak) (k = \9 2, п) образуют строго возрастающую последовательность проективных подпространств в P(E)9 такую, что ACiA1 (поскольку / (А) с А;)) и An = P (E)9
Размерности этих подпространств удовлетворяют, следовательно, неравенствам
dim A^cHmA1 < dim A2 < ... < dim An = п
(так как два различных проективных подпространства, содержащиеся одно в другом, не могут быть одинаковой размерности).
Из этих неравенств следует условие dim Ai ^ 1 и, значит, Ai = А и А7 = /(Ai) = /(А). ?
Замечание. Предложение 12.3 не имеет места без предположения о том, что / — биекция. Пусть, например, / — вложение P*(R) в РП(С), которое в однородных координатах точке (xi9 ... 9 Xn+1) ^Рп (R) ставит в соответствие точку с теми же координатами (хи xn+i)EP^(C), Тогда / преобразует колли-неарные точки в коллинеарные, но образ прямой в Pn(R) не есть прямая в РЛ(С) и отображение не полулинейно.
Предложение 12.4. Пусть P(E)9 P(F)-JiBa произвольных проективных пространства и /: R(?)->
12. основная теорема проективной геометрии 167
-+P(F) — такая биекция, что образ любой прямой из P(E) есть прямая в P(F). Тогда прообраз гиперплоскости в P(F) есть гиперплоскость в P(E).
Доказательство. Пусть H — гиперплоскость в P (F); по предложению 12.2, f~l (H) есть проективное подпространство в P(E), очевидно отличное от P(E). С другой стороны, если А — прямая в P(E), то /(А) будет прямой в P(F), пересекающей H по меньшей мере в одной точке; следовательно, А пересечет /-1 (H) по меньшей мере в одной точке.
Если V — векторное подпространство в Е, индуцирующее f~l(H), то пересечение V с любым двумерным векторным подпространством в E имеет размерность ^1, а поскольку V Ф Е, то V оказывается гиперплоскостью в E (см. упр. II. 8). ?
Теперь может быть установлена
> Теорема 12.5. Пусть P(E), P(F) — два проективных пространства любой (конечной или бесконечной) размерности ^2 и /: P (E)-^-P (F)—биекция, такая, что образ любой прямой из P (E) есть прямая в P(F). Тогда / полупроективна.
Доказательство. Обозначим через H произвольную гиперплоскость в P(F) и снабдим & = P (E)\f~l (H) (соотв. @~ = P (F)\H) аффинной структурой, полученной отправкой /-1 (H) (соотв. H) в бесконечность. Ограничение f отображения / на S есть биекция (S на @~, преобразующая аффинные прямые из Ж направления 8 є f-1 (Я) в аффинные прямые в & направления /(б). По теореме III. 8.1 f есть полуаффинная биекция <§ на &~.
С помощью легкого обобщения предложения 4.1 видим, что такая биекция f продолжается до полупроективной биекции P(E) на P(F), с необходимостью совпадающей с / (поскольку образ прямой направления б из (!Г есть прямая направления /(б) в ^); отсюда и вытекает результат. ?
Путем сравнения этой теоремы с предложением 12.3 получается, наконед,
168 гл. iv. элементы проективной геометрии
> Теорема 12.6. Если P(E)9 P(F)-ABa проективных пространства одинаковой конечной размерности 2, то всякая коллинеация P (E) на P (F) полу-проективна.
Коллинеации и корреляции (случай конечной размерности)
