Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
где р (соотв. р') обозначает каноническую проекцию En на А (соотв. Е[ на А'),
Для того чтобы линейное отображение /: E-^E' индуцировало томографию, удовлетворяющую наложенным требованиям, необходимо и достаточно, чтобы существовали три элемента а, ?, у из К*, такие, что
f(a) = aa', f(6) = ?&', f(a + b) = yc', (1)
откуда
аа' + ?fr' = f (a + b) = у (а' + fr'),
и поскольку пара (а\ fr') свободная, а = $ = у.
Изоморфизм f{: E-+E', определяемый условиями fi(a)=a' и (fr)= b', удовлетворяет всем нужным требованиям и, значит, <р существует.
Если К коммутативно, то всякое линейное отображение, удовлетворяющее (1) с a = ? = 7, имеет вид f = afu и / и fi индуцируют одну и ту же единственную томографию ф.
Если К не коммутативно, то существуют два элемента а, X є К*, такие, что аХ Ф Xa. Тогда линейное отображение f: Е->Е', задаваемое с помощью / (а) = аа', f (fr) = afr', удовлетворяет равенствам / (a + Xb) = f (a) + kf (fr) = aar + Xab', в то время как для Z1 имеем (a + Xb) = ar + Xb'. Поскольку ХафаХ, вектор аа' + Xab' не коллинеарен вектору a' + W. Отсюда следует, что томографии ф, фь индуцированные отображениями / и fu различны, хотя обе они удовлетворяют всем условиям. Итак, в этом случае ф не единственна. ?
152 гл. iv. элементы проективной геометриіі '
Следствие. Если A9 B9 С — три различные точки проективной прямой А над полем K9 то существует единственная гомография <р прямой А на Р1(К)=> = KD {оо}, такая, что ф(Л) = сю, ц(В) = 0, ф(С) = 1.
> Определение 8.1. В принятых обозначениях если D — произвольная точка А, то двойным отношением, или ангармоническим отношением, точек A9 B9 C9 D называется элемент <р(D)є P1 (/С), обозна'чаемый [A9 B9 C9 D] (по-английски: cross ratio).
В частности, имеем [A9 B9 C9 А] = со, [A9 B9 C9 B]^O9 [A, B9C9 C] = I и [A9 B9 C9 D] ф сю, если D Ф А.
Следует принимать во внимание, что двойное отношение определено здесь только для случая, когда К — поле (по поводу некоммутативного случая см. упр. IV. 22). Немедленно получаем
Предложение 8.2. Двойное отношение четверки коллинеарных точек есть инвариант любой гомо-графии.
Выражение двойного отношения в P1 (К")
Рассмотрим прежде всего четверку элементов а, ?, у, бе К, отождествив их с элементами <а, 1>, <?, 1>, <Т, О, <б, 1> из P1 (К) (см. начало § 6). Для того чтобы линейное отображение /: К2-*К2 индуцировало томографию, для которой ф(а)= оо и 9(P)2=3 = 0, необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид
/: (х9 у)*->(Х(х — $у), \і(х — ау)),
и требование <p(v)= 1 будет равносильно 1K(у— ?) = = M-(Y — 0O- Таким образом, гомография, удовлетворяющая условиям ф(а)=оо, 9(?) = 0, у(у) = 1, индуцируется отображением
/: К2 -> K2t (X9 у) ((Y ~ а) (х - ?y), (Y - ?) (х - ay)), и мы находим, что
г о Ai (Y — а) (o — ?) Y — а . o — а /ох
[«, ?, v. (;_?)(6_a) -Y=J-^—(2)
Случай, когда одна из точек бесконечно удаленная, трактуется просто; например, [ос, ?, у, оо] = (у —¦
8. томография прямой. дёойное отношвйий 153
— а)/(У— ?)- Заметим, что [ос, ?, 7, б] изменяется на противоположное при перестановке а и ? или 7 и б и сохраняется, если поменять (ос, ?) с (7,6).
Случай аффинной прямой
Пусть 2D — аффинная прямая над полем К\ аффинная параметризация К-+2D9 tv->(\—t)A + tB, продолжается в томографию, R~>?Dt если положите Ф (Qo) = ^)001 где 2D00 — бесконечно удаленная точка прямой 2D. Таким образом, если C = (I — и) А + иВ и D = (1 — V) А + vB — две точки 2D9 то [A9 B9 C9 D] —
= [0, 1, U9 v]» и и_ j • р t » и, допуская вольность в обозначениях *), получаем
[Л, ?, С, D] = -?-:-?
и, в частности, [Л, ?, С, 2D00] = -=5-.
Интерпретация гармонических четверок
Предложение 8.3. Для того чтобы четыре точки Л, ?, С, D проективной прямой над полем К с различными A9 В, С образовали гармоническую четверку, необходимо и достаточно, чтобы [Л, B9 C9 D] =
Доказательство. По определению двойного отношения достаточно проверить, что четверка (оо, О, 1,6), где бе K9 гармоническая тогда и только тогда, когда б = —1.
Этот результат сохраняет силу и в случае, когда характеристика К равна 2.
Двойное отношение четырех прямых, проходящих чіерез одну точку (коммутативный случай)
Из предложений 4.3 и 8.2 немедленно выводится
1J Напомним, что деление векторов лишено смысла, если они не коллинеарны.
{54 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ХЕОДОЕТРИИ
> Предложение 8.4. Если A1, A2, A3, A4- четыре прямые проективной плоскости над полем, проходящие через одну точку, то двойное отношение четвер^ ки точек их пересечения с любой прямой А, не проходящей через их общую точку, не зависит от выбора прямой А.
9. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ. ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ
Пусть SP — аффинная плоскость над произвольным телом Ky снабженная аффинным репером (A1B1C)9 и SP = $> (J ^00= P(E)9 где dim E = S9- ее проективное пополнение. В § 4 мы видели, что в E существует базис (еі9е2і ?з), такой, что однородные координаты в^в этом базисе являются продолжениями барицентрических однородных координат плоскости 3і в репере (A1 B1 С). В частности, бесконечно удаленная прямая плоскости 9 в этом базисе есть прямая х + у + г = Ов&.
