Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Выбрав дополнительное к X подпространство YаЕ, положим f{x-\-у) —f(x) для любых (X9 У) ЄЕ XX У.
Следствие. Если элемент а векторного пространства E обращает в нуль любую линейную форму / на JE: f(a) =0, то а = 0.
Доказательство. Допустим, что а Ф 0; тогда существует линейное отображение ф векторной прямой Ka Э K7 такое, что ф (а) = 1 (ф определяется условием
то. некоторые приложения аксиомы цорна
79
ф(Ха)= К для любого К). Следовательно, ф продолжается до линейной формы / на E9 такой, что
Приложение. Мы можем теперь сформулировать с полной общностью (см. § 7)
> Предложение 10.4. Каноническое вложение / векторного пространства E в его второе сопряженное всегда является инъективным отображением.
Существование норм
Теорема 10.5. Каждое векторное пространство E над R или С допускает норму; в каждом векторном пространстве над R можно ввести скалярное произведение.
Доказательство. Если (e^i^I-— базис в E9 то каждый элемент X & E однозначно представим в виде X = Yj xieh где J — некоторое конечное подмножє-
ство в I и (Xi)?e.j — семейство скаляров. Легко видеть, что можно ввести три нормы N0, N1, N2 на E9 положив
N0 (*) = sup I х( I, N1 W=El Xi I,
В случае поля iR норма N2 ассоциирована со скалярным произведением р9 определенным на E^E равенством
Построение нелинейных автоморфизмов группы (R, -f)
Мы знаем, что всякий монотонный автоморфизм группы (R, +) линеен, т. е. имеет вид ху->ах9 где а є IR*. Так же обстоит дело и с непрерывными авто-
1J Здесь под / можно понимать /i u /2, где /ь /2 — множе-j
f(a) =1. ?
P ( E x,eh E УівЛ = E ХіУі ').
vie/ (Е/ } І Є/
SO ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
морфизмами этой группы (см. [LF — AR], т. 2, упр. II. 16). Применяя аксиому Цорна, мы можем построить нелинейный (а, значит, не монотонный и не непрерывный) автоморфизм (1R, +)•
С этой целью рассмотрим R как векторное пространство над Q; тогда Q окажется векторным подпространством в 1R и для него найдется дополнительное подпространство У.
Следовательно, существует Q-линейное отображение f: IR->R, такое, что f(x)=x для всех xgQ и f{y) = 2у для всех у^У (см. предложение 4.2). Оно определяется равенством f(x + y)=x + 2y для любых (х, у) ^QX У. Это отображение f очевидным образом не линейно, но биективно и удовлетворяет условию
(V(«,u)eR2) f(u + v) = f(u) + f(u),
т. е. является автоморфизмом группы (R, +)• ?
> Заметим, однако, что невозможно построить такое отображение элементарными средствами (так же, как нельзя указать в явном виде базис R над Q); практически мы никогда не встречаемся с нелинейными автоморфизмами (R, +).
В заключение заметим, что результаты, полученные в этом параграфе с помощью аксиомы Цорна, имеют чисто теоретический интерес, ибо невозможно предъявить объекты, существование которых в них утверждается. С другой стороны, использование этих результатов для получения «заодно» свойств конечномерных пространств (таких, как существование базисов или дополнительных подпространств), как это делается в некоторых курсах, было бы злоупотреблением: ведь это значило бы поставить в зависимость 015 аксиомы Цорна свойства, которые от нее не зависят.
глава iii
СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
1. ВВЕДЕНИ
Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства1). Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований, и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.
Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем
^ Определение 1.1. Пусть G — некоторая группа (с мультипликативным обозначением операции) и е — ее нейтральный элемент.
Говорят, что G действует слева на множестве X, если определено отображение ф: GXX-^X1 (g, х) н-> ^-^фС^, *)» такое, что набор отображений ф^: X-+X9 x^-+(p(g1 х) удовлетворяет условиям
сре = Ых и (V(g, A)GG2) Ф?°Ф/* = Ф^. (1)
Аналогично говорят, что G действует на X справа, если определено отображение г|з: XXG-+X1 (х, g)*—> *-+ty(x, g)y такое, что набор отображений X-+X9 g) удовлетворяет условиям
^ = Id* и (V(g, A)GG2) Ф^ф,=-ф^. (Г)
Соотношения (1) (соотв. (Г)) показывают, что ф^ (соотв. я|э Л — это биекции X на X и что ф"1 = ф .
V \ \ ss
(соотв. г|Г =i|^-i).
,1) Чтение этого параграфа необязательно для понимания дальнейшего.
82 гл. III. структура аффинного пространства над телом
1J В этом случае подгруппа G обозначается просто Ga и называется также стационарной подгруппой элемента а. -* Прим. перев.
Например, любая группа G действует сама на себе слева левыми сдвигами: yg(x) = gx и справа правыми сдвигами: tyg(x) = xg.
Группа G действует на себе слева также внутрен* ними автоморфизмами: cpg(x) = gxg~l.
Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева.
