Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
(ух^Е) (f + g)(x) = f(x) + g(x),
Qk) (x) = f (х) k (ft є/С).
Проверка осуществляется непосредственно. Векторное пространство линейных форм на E называется сопряженным с E и обозначается ?*.
Понятно, что предложение 4.7 остается верным при перестановке слов «левый» и «правый».
Сопряженность линейных пространств будет изучена в § 6.
5. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Теорема 5.1. Пусть E — левое конечномерное пространство над телом /С. Для того чтобы левое векторное /(-пространство F было изоморфно E9 необходимо и достаточно условие CHm(T7)= dim(?).
В самом деле, пусть (et)x<{<п — базис Е\ если /: E-^-F — изоморфизм, то (1(еї)) составляют базис F9 откуда следует, что aim(F) = dim(?). Обратно, если последнее равенство выполнено, то предложение 4.5 позволяет построить нужный изоморфизм.
Можно доказать также следующую теорему:
^ Теорема 5.2. Пусть E9 F — два векторных пространства одинаковой конечной размерности п над телами K9 К\ а / — полулинейное отображение EbF. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
i) f инъективно,
ii) f сюръективно,
iii) / биективно.
'Доказательство. Если / инъективно (соотв. сюръективно), то образ при отображении / базиса E яв-
60 гл. ii. структура векторного пространства над телом
ляется свободным семейством (соотв. семейством образующих) мощности п, что и влечет биективность /.
Наконец, из теоремы 4.4 о каноническом разложении выводится
> Предложение 5.3. Если E1 F — два конечномерных векторных пространства и /: E -+F — полулинейное отображение, то
dim (Im f) + dim (Ker f) = dim (E). (1)
Доказательство. Можно положить f = g^pt где g: E/Ker f-+ F — полулинейное инъективное отображение. Каноническая проекция р: E -+ Е/Кет f сюръ-ективна, и потому Im/=Img. Рассматривая g как полулинейную биекцию ?/Кег/ на Im f, найдем, что dim (Im/) = dim(?/Ker/).
Наконец, поскольку E/Кет / изоморфно любому подпространству, дополнительному к Ker/ (теорема 4.3), то
dim (E) = dim (Ker /) + dim (?/Ker /),
откуда и вытекает результат. ?
Напомним здесь, что размерность образа / называется рангом / и обозначается rg(/).
Матрица линейного отображения
Пусть E1 F — два левых векторных пространства конечных размерностей n, р над одним и тем же телом Ky B = (ev ..., еп) — базис EuB' = (е\9 ..., е'р)— базис F. В силу теоремы 4.5, задание линейного отображения /: E-+F равнозначно заданию прямоугольной таблицы скаляров (аы) (1^ k ^p9 1 <1 ^ і ^ n)t таких, что
= (2)
Эта таблица называется матрицей отображения / в базисах B9 В'.
6. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, ДУАЛЬНОСТЬ §1
Образом вектора x=Z хієі из E является вектор
i = I
p
y = f(x)=Z Уье'ь из P с координатами
Vk = LxPkI (К*<р). (3)
В случае правых векторных пространств E1 F формулы (2) и (3) заменяются следующими:
/Ы = Е*Л< (!«•<")> (20
fe=1 п
Uk = Z cikiXt (1 < k < р), (30
и отображение f определяется тогда условиями
? п ч n P
/ (E «л J= Z / Ы = Z 4^-
41 = 1 / i = I к~ 1
В частности, всякая линейная форма f на левом (соотв. правом) векторном пространстве E записывается в виде
f(s = fa)
(соотв. / (|] = Z Ї {ед X^ ,
где f(et) — элементы тела К.
Если К — поле, то мы возвращаемся к привычным формулам.
Мы не станем развивать здесь матричное исчисление над некоммутативным телом.
6. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ, ГИПЕРПЛОСКОСТИ, ДУАЛЬНОСТЬ
Линейные формы были определены в § 4. Теперь Мы изучим их связь с геометрическим понятием гиперплоскости.
62 гл. it. структура векторного пространства над телом
Определение 6.1. Пусть E — векторное пространство над телом К. Векторной гиперплоскостью в E называется такое его векторное подпространство Я, что размерность Е/Н равна 1.
> Предложение 6.1. Для того чтобы векторное подпространство H пространства E было гиперплоскостью, достаточно, чтобы в E существовал такой элемент а9 что E = H® Ka.
Обратно, если H — гиперплоскость в E9 то E = s= H © Ka для любого а є Е\Н.
Доказательство, а) Если E = H ф Ka9 то H допускает в качестве дополнительного подпространства прямую Ka. По теореме 4.3 размерность Е/Н равна 1 и H — гиперплоскость.
Ь) Если H — гиперплоскость, обозначим через р: E-+ Е/Н каноническую проекцию. Поскольку Е/Н одномерно, Е\Н не пусто, и для каждого а е Е\Н векторное пространство Е/Н порождается элементом р(а). Дя каждого х^Е существует X ^ K1 такое, что р\х) = Xp(а)9 что равносильно х — Ха^Н. Следовательно, E = H + Ka и, поскольку H Л (Ka) = {0}, имеем E = H © Ka.
Следствие. Для того чтобы векторное подпространство H пространства E было гиперплоскостью, необходимо и достаточно, чтобы у H имелось дополнительное подпространство размерности 1.
Заметим, что гиперплоскости можно было определить этим свойством, не прибегая к понятию фактор-пространства.
Пример. Пусть H — векторное подпространство в E = K[X]9 образованное многочленами без свободного члена. Тогда H допускает в качестве дополнительного подпространства векторную прямую, порожденную скалярами; значит, H есть векторная гиперплоскость пространства /C[^].
