Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, применяя предложение 3.7, получим
1) Чаще в понятие репера включают требование упорядо* ченности системы образующих его точек. — Прим. перев,
96 гл. их. структура аффинного пространства над телом
Предложение 4.7. Если S — аффинное пространство конечной размерности п, то любой его аффинный репер образован п + 1 точками.
Обратно, для того чтобы п + 1 точек в S образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы п векторов A0A1 (1 ^ / ^ п) образовали базис E9 или (эквивалентное условие) чтобы точки Ao9 А\9 ...
An не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.
Заметим, что если T есть ЛАМ конечной размерности в S и (A09 A19 ..., Ар) — аффинный репер в T9
р р
то T есть множество точек Y ^iA1 с Y ^j = 1. Этот
1=0 /=0
способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая, соединяющая две точки A9 В в S9 есть множество точек XA + (1—X)B (X ^ К).
Характеризация аффинных подпространств
Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества P точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит Р.
> Теорема 4.8. Для того чтобы непустая часть T пространства E была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы
a) если К ф Z/2Z — любая прямая, соединяющая две точки T9 содержалась в Т\
b) если K = Z/2Z — эквибарицентр любых трех точек T лежал в Т.
Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в T точку А и покажем, что V =* {AM \М Gf) есть ВПП пространства Е.
а) Предположив, что К ф Z/2Z, установим прежде всего, что условия (йєі/ и X є ^C) влекут Xu є V. Действительно, по предположению существует точка
—>
В є У\ такая, что AB =; и. Точка C9 определенная
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИНПЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 97
условием AC=Xu, принадлежит прямой (AB) и, значит, Т, откуда следует, что кеК
Рассмотрим далее два любых вектора U = AB и V = AC в V и выберем ks=K\{0, 1} (что возможно, так как К не сводится к {0, 1}). Точки В' = Л + k"lu и C = Л+ (1 — k)~~l V (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (AB) и (АС), а потому и Т. Следовательно, точка D = kBr + (1 — k)C = A + u+ v принадлежит T, откуда и -\- V є= V. Итак, V есть ВПП в Е.
Рис. IAUB В'
Ь) Если /С = Z/2Z, то тривиальным образом (Я, w) є е /С X V влечет Xu є V (так как X может принимать
только два значения 0, 1). Если и = AB, v = AC— два вектора из V, то точка D, определяемая условием AD = u + V, есть зквибарицен-ґр Л, В, С, откуда и вытекает наше утверждение. ?
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
> Определение 5.1. Пусть &у @~ — два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами Е, F. Отображение f: S ->ЗГ называется полуаффинным (соотв. аффинным), если в S
существует такая точка A1 что отображение срЛ: E ->F,
-->
uy-*f(A)f(A + и) полулинейно (соотв. линейно).
Предложение 5.1. Если в 8 существует точка А, удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им
4 Ж. Лелои-Ферран
98 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
удовлетворяет любая точка ff и отображение фд не Зависит от Л.
Доказательство. Для любой пары (и, ?)<= ?Xff
ИМееМ В СИЛУ ЛИНеЙНОСТИ фд
f(B + u) = f(A + AB + u) = f(A) + q>A(AB + u)=* = / (Л) + Фл (AB) + Фл (и) = f(B) + Фл (u)t что и доказывает требуемое. ?
^ Обозначения. Отображение фл обозначается /.(/) и называется полулинейной (соотв. линейной) частью f.
Истолкование. Фиксируем в ff некоторую точку Л и снабдим ff, ^ векторными структурами, принимая за начало в ff точку Л, а в SF — точку f(A). Тогда / будет полуаффинным (соотв. аффинным) в том и только том случае, если L(f) —полулинейное (соотв. линейное) отображение &*f(А).
В частности, изучение полуаффинных (соотв. аффинных) отображений пространства ff в себя, допускающих неподвижную точку Л, сводится к изучению полулинейных (соотв. линейных) отображений <§а в себя.
Так обстоит дело в случае гомотетий, проектирований и симметрии (см. ниже).
> Важно заметить, что полуаффинное (соотв. аффинное) отображение полностью определяется своей полу-линейной (соотв. линейной) частью и образом одной точки.
Если E1 F — два векторных пространства, то полуаффинное (соотв. аффинное) отображение EnF есть отображение вида /: х н-> ф (х) + где ф полулинейно (соотв. линейно), a k=f(0)—постоянный элемент.
Непосредственные следствия. Если f: <$-*SF полу-аффинно, то
1) Образ ЛАМ в ff есть ЛАМ в Т.
2) Прообраз ЛАМ в SF есть ЛАМ в ff или пустое множество.
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
3) Для любой системы (Ah X1)^1 взвешенных точек ff образ барицентра $(Ah X1)^1 есть барицентр $ (f (Ai)9 6 в 7, где 6 обозначает изоморфизм тел, ассоциированный с /.
Применение аффинных реперов
^ Теорема 5.2. Пусть ff, ^--аффинные пространства над делами K9 К', 0 —изоморфизм К на К\ є/ аффинный репер в ff и (?f). є 7 — семейство точек 5*", индексированное тем же множеством индексов /.
