Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Можно привести два равносильных данному опре* делению 2.1 обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.
Определение 2.2. Аффинным пространством, ассоциированным с E9 называется множество S9 снабженное семейством биекции (т„)иє_?, таких, что
a) T0? = Idg и (V (и9 v)(=EXE) хи о %v = ти+0;
b) для любой пары (A9 B)^S XS существует единственный вектор U^E9 такой, что В = %и(А).
Определение 2.3. Аффинным пространством, ассоциированным с E9 называется множество S9 снабженное отображением 8 Х& E9 обозначаемым (A9 В)
ь-+ AB9 таким, что
a) для каждого А є S отображение S -+E9
M *-+ AM биективно;
b) для любых точек A9 B9 С из S выполнено соотношение Шаля
AC = AB + ВС. , Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки A^S мы имеем AA = 0Е.
От определения 2.3 к определению 2.2 можно перейти, обозначив через тм(Л) единственную точку B9
такую, что AB = U9 и заметив, что соотношение Шаля
86 ГЛ. ИГ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
равносильно xv^Xu = xu+v- Переход от определения 2.2 к определению 2.1 непосредственно ясен.
Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки /Іє^ отображение fA: E-+S> и ь-^ А + и = хи (А) есть биекция; эта биекция позволяет перенести на Si векторную структуру Е.
> Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на & будет называться векторной структур рой с началом А; множество S с этой структурой будет обозначаться Sa.
Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства S — это те свойства векторного пространства Sa, которые не зависят от выбора точки А.
Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе «внутреннего» исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяющая яснее представить именно аффинные свойства S. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часю проясняет дело.
Размерность аффинного пространства
Пусть S — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е. По определению, размерность S равна размерности Е.
В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности 0, ассоциированную с нулевым векторным пространством.
3. АФФИННЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА (ЛИНЕЙНЫЕ АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ)
Пусть S — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е. Каждое векторное подпространство V пространства E образует подгруп-
3. линейные аффинные многообразия
87
пу группы (?, действующую на S трансляциями. По определению, орбиты действия V на S называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно 1JlAM) с направлением V. Группа (К,+), действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит, определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с V\ поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в S.
Если T есть ЛАМ с направляющим подпространством VnA — точка Т, то T допускает структуру векторного пространства с началом А и Та есть векторное подпространство в SA (см. § 2). Обратно, любое ВПП пространства Sa есть ЛАМ, проходящее через Л; сформулируем
> Предложение 3.1. Аффинные подпространства в Sy проходящие через точку Л, суть векторные подпространства векторного пространства Sa*
Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ T пространства S полностью определяется заданием множества точек Т.
Другие определения
Предложение 3.1 показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:
Определение 3.1. Непустое подмножество T аффинного пространства S называется линейным аффинным многообразием, если в T существует точка Л,
такая, что VА = {AM \М<=У) является векторным подпространством в Е.
Приняв определение 3.1, можно непосредственно установить следующее
Предложение 3.2. Пусть T — непустое подмножество в S и А — точка У, такая, что VА = {AM \М^Т} есть векторное подпространство в Е. Тогда для любой
точки В из T множество VB = {BM\M^T) совпадает с VА.
88 гл. ні. структура аффинного пространства над телом
Доказательство. VB есть множество векторов BM = AM — AB9 где AM є VA\ таким образом, VB есть образ VА при биекции т: Е->Е9 иь—>и — AB9 и поскольку А.В є 7д, то т = VА.
Установив это, легко убедиться, что T наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством V = Va9 которое не зависит от точки А.
Вместо того чтобы исходить из векторной структуры Va9 можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием V на T (см. § 1): ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:
Определение 3.2. Пусть V — векторное подпространство в E и SIv — отношение эквивалентности, определенное на & с помощью
