Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Б. По количеству стратегий различают игры конечные и бесконечные. В конечных играх в распоряжении игроков конечное число возможных стратегий (например, *орел» или «решка» в игре в орлянку).
236 Глава 13. Методы расчета рисковых ситуаций в экономике
В таком случае сами стратегии называются чистыми стратегиями. В бесконечных играх игроки обладают бесконечным числом возможных стратегии (в ситуации Продавец — Покупатель каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цепу и количество продаваемого или покупаемого товара),
В. По свойствам функции выигрыша игры различаются по следующим трем категориям. Первая — когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (или общая сумма выигрыша равна общей сумме проигрыша); такие игры называются играми с нулевой Суммой, или антагонистическими играми (игра в орлянку, карточные игры). Ко второй категории относятся игры с постоянной разностью, когда игроки тшнгрывают и проигрывают одновременно и потому HM выгодно действовать сообща; игры этой категории являются прямой противоположностью играм первой категории. К третьей категории относятся игры между этими двумя крайними случаями — множество игр с ненулевой суммой, когда имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.
Г. В зависимости от возможности предиарительных переговоров между игроками различают кооперативные и некаоперативпые игры, В кооперативных играх игроки до начала игры образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях (образование коалиций и групп в парламенте) Если же игроки не могут координировать свои стратегии таким образом, игра называется некооперативной (все антагонистические игры являются нскооператпв-ными играми).
13.1.2. Формальное представление игр
В случае игры двух игроков функции выигрыша каждого из них удобно представлять в пиле матрицы выигрышей или матрицы платежей, в которой строки представляют стратегии одного игрока, а столбцы стратегии другого игрока; в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков для каждой ситуации. Рассмотрим это на примерах лір разиІЛХ классов.
J. Игра с нулевой суммой. Например, при игре в орлянку каждый из игроков имеет две стратегии — «Орел* и # Решка». Если оба выбирают одинаковые стратегии (оба говорят «Орел» или «Решка»), 1-й игрок выигрывает 10 ден. ед., а 2-й проигрывает 10 дси. ед.; если они выбирают разные стратегии, то 2-й игрок выигрывает 10 ден. ед.. а 1-й
13.1. Элементы теории игр 237
проплывает 10 леи, ел. В результате матрица W1 выигрыше» 1-го игрока имеет следующий вил:
Стратеїчпі 2-го иірока Орел Решка Орел ( 10 -10)
Стратегии 1-го игрока
Решка I4-IO 10
Соответственно, матрица выигрышен второго трока W2 = -H1. Для наглядности матрицы выигрышен обоих игроков объединяют в одну биматрнцу, которая дает полную информацию о всей игре:
Стратегии 2-го игрока Орел Решка Орел ((10.-10) (-10, 10) i1
Стратегии 1-го игрока
Решка U-10.10) (10,-1O)J
2, Игра с ненулевой суммой. Две фирмы функционируют на рынке одновременно с одинаковым товарным объемом V. У обеих фирм по соображениям рентабельности есть следующие стратегам: либо выбросить на рынок полный объем товара V, либо выбросить половину объема 0,5V. Если 1-я фирма выбрасывает на рынок полный объем V1 а 2-я — половину объема 0,5V, то 1-я получает 100 % запланированной прибыли, а 2-я — только 25 %, и наоборот. Если обе фирмы выбросят па рынок по полному объему V1 то получат но 15% прибыли; если по 0,5V, то прибыль каждой из фирм составит по 50 % от запланированной. Биматрица вышрышей для игроков имеет следующий вид:
Стратегии 2-го игрока V 0.5 - V
V (415.15) (100,25У|
Стратсши 1-го игрока
0,5V 1^(25,100) (50,50) J
3. Бесконечная игра. В случае дуополии каждый из игроков может назвать цену р, по которой он хочет продать определенное количество товара. При этом полагается, что потребители приобретут товар у фирмы, объявившей меньшую цену; в случае объявления одинаковой цены с[|рос D (р) распределяется между фирмами поровну. Функция выигрышей игроков (величины дохода) имеет вид
238 Гпааа 13. Методы расчета рисковых ситуаций в экономике
П(P,. р,) = \
Р,Щр<)< P1 < Pp P1D(P1 )/2. р, = Pj,
P1D(P1I Р, >РГ
(і * j; і,
j = i 2).
13.1,3, Антагонистические игры
В общем случае двух партнеров-соперников, имеющих в своем распоряжении, соответственно, пит стратегии, платежная матрица И имеет вид
k.„ h.„
И
К.
(1.4.1)
пі л j 1J'j* J
Основное допущение теории игр состоит і) том, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях других игроков. Пусть матрица выигрышей 1-го игрока Н, тогда для 2-го игрока матрица выигрышей -И. Игрок 1 полагает, что в любом случае игрок 2 выберет стратегию, максимизирующую собственный выигрыш (минимизирующий выигрыш игрока 1), т. е. стратегия игрока 1 состоит в выборе строки и в ней элемента матрицы Н:
max ram
1 К і
(13.2)
Лнааогичным образим строится и стратегия игрока 2 — максимизировать величину своего выигрыша (минимизировать его проигрыш), т. е. поиск минимума по возможным максимумам в столбцах матрицы Я:
