Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1.4. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения:
= аЛі + аяАл + ¦
1 < і < и.
(1.33)
Формула (1.33) называется разложением определителя по 1-й строке. Аналогичное утверждение имеет место и для разложения определителя по любому столбцу. Эта формула сводит вычисление определителя л-го порядка к вычислению п определителей (и - 1)-го порядка.
Пример 9, Вычислить определитель 4-го порядка
12 4 7 0 3 0 2 2 4 3 2 G З 1 1
Решение. В принципе, разложить определитель можно по любой строке (столбцу) согласно формуле (1.33). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой побольше нулевых элементов. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определителя имеет вид
АА =0А,, +3¦/Ij3 +0•An
Л» =
1.3. Определители 31
= 3(3+ 14 + 48
1
4 7
1 2
4
3(-1)4
2
3 2
+ 2(-1)0
2 4
3
6
1 1
6 3
1
- 126-
-2
-8) +
2 (4 + 24 + 36 -
48
1.3.4. Ранг матрицы и системы векторов
1. Пусть дана матрица А, состоящая из т строк и п столбцов. Выделим в ней произвольным образом к строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, обрадуют квадратную матрицу к-го порядка; определитель этой матрицы является минорам k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-ro порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел т и п, т. е.
max k = min (т, «). (1.34)
Из всех возможных миноров матрицы А выделим те, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.
Определение 19. Наибольший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля, называется рангом этой матрицы.
Определение 20. Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы. Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными.
Заметим, что в общем случае у матрицы может быть несколько базисных миноров,
В 1.2.6 было дано определение ранга матрицы как наибольшего числа линейно независимых се векторов-строк (столбцов). В курсе алгебры доказывается, что эти два определения эквивалентны, Приведепое в данном разделе определение дает возможность вычислять ранг матрицы, а значит, и ранг системы векторов.
Пример 10. Найти ранг матрицы размера 4 к 6
2^ 2
A4
f2
3
1
5
4
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
,0
0
0
0
0
5 '
32 Глава 1. Элементы линейной алгебры
Решение. Нетрудно видеть, что максимальный порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля, равен двум, поскольку миноры третьего порядка должны обязательно содержать элементы по крайней мере двух строк матрицы А с номерами 2 по 4, но такие определители равны нулю либо по пртпаку пропорциональности двух строк, либо по признаку наличия в них нулевой строки. У этой матрицы существуют при базисные строки (с 1-й по 3-ю), и пять ее столбцов являются базисными (либо с 1-го по 5-й, либо со 2-го по 6-й); из них и формируются все базисные миноры второго порядка.
2. Как было отмечено в 1.2.7, матрица порядка л является вырожденной и не имеет обратной матрицы, если се ранг г < п. Максимальный порядок минора квадратной матрицы равен л; в этом случае базисный минор равен определителю этой матрицы. Стало быть, квадратная матрица является вырожденной, если ее определитель равен нулю.
1.4. Системы линейных алгебраических уравнений
Этот раздел является одним из основных в алгебре. При решении экономических задач системы линейных уравнении наиболее употребимы в аппарате исследования и при рассмотрении частных проблем.
1.4.1. Общий вид и свойства системы уравнений
Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) л:,, д2,Xn имеет вид
Здесь a-SJ и й, — заданные числа ((= 1, 2,т\}= 1, 2,л), которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (1.35). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного д-.
Решением системы уравнений (1.35) называется набор п чисел je, = а,, х, = а2..... х„ = и„, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.
a71X1-KIj1x1 + + а.ІЙХп
(1.35)
1А Системы линейных алгебраических /равнений 33
Система уравнений (1.35) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений либо имеет одно решение її в таком случае называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.
Системы уравнений вида (І.ЗІЇ) называются жниаалеитпы-№, если они имеют одно и ю же множество решении. ЭлеменпЮ]щые преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относится:
