Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Стало быть, ранг любой матрицы размера т*п можно искать, как ранг одной из двух систем векторов: либо т векторов-строк, либо п векторов-столбцов. Для прямоугольной матрицы максимальный ранг г= min (m, л). Максимальный ранг квадратной матрицы размера ихи не может превышать п\ г< п.
1.2.7. Понятие обратной матрицы
Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы.
Определение 15. Матрица порядка п называется вырожденной, если ее ранг г< п.
1.3. Определители 27
Определение 16, Матрица Л ' называется обратной ни отношению к матрице Л, если их произведение равно единичной матрице:
ЛЛ ^=A-1A = E. (1.28)
Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ран?. г< п, то для нее не существует обратной матрицы.
1.3. Определители
1.3.1. Операции над определителями
Любой квадратной матрице А порядка п ставится в соответствие Некоторое число, называемое определителем и-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.
Пусть дана матрица
A =
22
тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле
Д, =
'22
(1.29)
Формула (1.29) представляет собой алгебраическую сумму двух попарных произведений элементов матрицы А из разных строк и столбцов.
В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержатся все элементы соответствующей матрицы.
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
(1.30)
Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, взятых по одному из разных строк и столбцов. Схема вычисления определителя 3-го порядка показана на рис. 1.1.
0O
А-.=
«II
а.п
ви
28 Глава 1. Элементы линейной алгебры
Рис. 1.1. Схема вычисления определите ля З-ru порядка Рассмотрим определитель «го порядка
I0Ii аа ¦¦¦
Теперь, с учетом подмеченных ранее закономерностей, перейдем к определению для общего случая.
Определение 17. Определителем матрицы А п-го порядка называется алгебраическая сумма п\ произведений ?т-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.
1.3.2. Основные свойства определителей
Из данного ранее общего определения следуют основные свойства определителей.
1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю,
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.
3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.
Действительно, поменяв местами эти строки, получаем Д„=-Л,„ откуда и следует, что Д„ - 0.
1.3. Определители 29
4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя Д„ представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей. Поясним это свойство на примере определителя 3-го порядка:
я,
а,.
а,.
и "г; "із
а'.л + а", а'.п + ап dTi +
а
і"
j35
зі
а
«и
avl
«11 я
<
а'Г1
+
O31
U33
Q31 О
д'3 + д;
6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки, (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.
Это свойство является следствием свойств 3—5.
7. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
Из перечисленьгх свойств следует, что определитель равен нулю, если по крайней мере одна из его строк (столбцов) является линейной комбинацией каких-либо других его строк (столбцов). Отсюда вытекает необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.
1.3,3. Миноры и алгебраические дополнения
Рассмотрим определитель и-го порядка (1.31). Выделим в нем какой-либо элемент a,j и вычеркнем ?-ю строку и J-й столбец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полученный определитель (п - 1)-го порядка называется минором Ыц элемента a,j определителя Д„.
Пример 8. Найти минор M32 определителя четвертого порядка
0-124 12 15 * 2 3 7 1
3 0 9 3
30 Глава 1. Элементы линейной алгебры
Решение. Минор Xf32 элемента аг,з получается вычеркиванием из данного определителя 3-й строки и 2-го столбца. Полученный определитель 3-го порядка равен
2
I
= 36+30-12-6 = 4а
О
1 I
3 9
Определение 18. Алгебраическим дополнением элемента ач определителя (1.3L) называется число
Лв = (-іУ"іЦ-
(1.32)
Так, для приведенного ранее примера алгебраическое дополнение Дзї = ( ¦ 1 )5 ¦ 48 =-48. Миноры и алгебраические дополнения иіратот важную роль в алгебре и ее приложениях. Одним из таких применении является теорема о способе вычисления определителей.
