Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
І7Г Щ. .... а,,. (1-Ю)
Определение 7. Линейной комбинацией векторов (1.10) называется лектор вида
Ь = X1 л, + X, +•... + X11 , (1¦H)
где X1.Xv.....X1 — любые действительные числа В атом случае говорят
также, что вектор Ii лингіїни iitiifiiLntacmcji через векторы (1.10) или р(шш<н:щся по .тім векторам.
1.1. Векторное пространства 17
Пример I. Даны три вектора:
Ti1 (I 2, O)1 я, =(2. I1 1) и Tt., -(-1, 1, - 2)
Их линейной комбинацией с коэффициентами, соответственно, 2, 3 н 4 является вектор Ь = (4, 11, -5).
Определение 8. Система ненулевых векторов (1.10) называется линейно зависимой, если существуют такие числа X1, Xit.... Хь не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:
a,j а\ + К., Tt7 + ... т Xk at = o. (1.12)
Если же равенство (1.12) для данной системы лекторов (1.10) возможно лишь при А., = X2 = ... = X11 = Q1 то такая система векторов называется лянейно независимой.
Например, система двух ве.ктпроп я, = (1, 0) п Ti2 = (0, 2) является линейно независимой; система двух векторов й, = (1, 2, Y) и 6ЇЇ = (2, 4, 2) является ли пей но зависимой, гак как &; -2^1 =0. Если система векторов (1.10) является линейно зависимой, то в сумме (1.12) можно выбрать слагаемое, в котором коэффициент \ * O1 и выразить его через остальные слагаемые.
Укажем свойства системы векторов (1.10):
1. Система, состоящая па одного ненулевого вектора, линейно независима.
2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.
3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится по крайней мере один вектор, который линейно выражается через остальные.
Для иекгорного пространства R" справедлива следующая теорема.
Теорема 1.1. В пространстве R71 любая система, содержащая т векторов, линейно зависима при т > п.
1.1.5. Базис и ранг системы векторов
Рассмотрим систему векторов (1.10), Максимально независимой подсистемой системы векторов (1.10) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы; б) любой вектор системы (1.10) линейно выражается через векторы этого набора.
18 Глава !.Элементы линейной алгебры
Определение 9. Максимально независимая подсистема системы век-T(JpOH (1.Ю) называется ее базисам; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа к ее векторов, то она может иметь несколько базисов.
Определение tu. Система п векторов называется базисом пространства R', если:
1) векторы этой систем и линейно независимы;
2) всякий вектор па R" линейно выражается через векторы данной системы.
1.1.6. Разложение вектора по базису
Пусть система вскторип (1.10) является базисом, а вектор b — их линейная комбинация. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1.2. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.
В произвольном базисе пространства R"
Ti1, Щ, а„ (1.13)
любой вектор этого пространства обязательно представим в виде разложения по базисным векторам
Ii = а( (T1 + U7 а-, + ... + а„Tin, (1-Й)
В наборе коэффициентов разложения (a,, u:,.....U1) числа «; называется координатами вектора Ь в базисе (1.13). п. как следует на сказанного, этот набор единственный для любої о вектора в данном базисе.
1.1.7. Разложение вектора в ортогональном базисе
Рассмотрим базис пространства в котором каждый яектор ортогонален остальным векторам базиса:
ё, .... ё„: ?,(?, =0. г.,/ = 1. 2, .... п. (1-15)
Ортогональные базисы известны и хорошо представимы на плоскости и в пространстве. Базисы такого вида удобны прежде веет тем, что координаты разложения произвольного вектпра определяются но весьма простой процедуре, без применения трудоемких вычислений.
1.2. Матрица 19
Дейстиительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора h в ортогональном базисе (Составим разложение етого вектора с неизвестными пока координатами разложения я данном базисе;
Ь = я, + п., е., + ... + «„ (1.16)
Умножим обе. части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор ех. В силу свойств 2 п 3 скалярного произведения векторов имеем
be, = а,(ё,ё() + Ti3 (ё3ё,) + ... + а,, (ё,*,.)+... + «„(<?„?,).
Однако в силу взаимной ортогональности лекторов базиса (І.15) все скалярные произведения векторон базиса, за исключением г-го, равны нулю. т. е. коэффициенты а определяется по формуле
he, be.
о.. =
ее.
Ie1 Iі
J = L 2.
OAT)
Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (1.15) имеют единичную /пину (If1I = 1) или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортоиормированиым и координаты разложения (1.17) имеют наиболее простой вид:
O1 =Ьё... i = t 2..... л (1.18)
1.2. Матрицы
1.2.1. Понятие матрицы
