Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
2°. В том случае, когда tp (t) всегда положительна, ясно, что Ф(х) является возрастающей функцией от х. Следовательно, в этом случае интеграл может только либо сходиться, либо расходиться к со.
Сходимость бежонечных рядов и несобственных интегралов 357
3°. Общий признак сходимости, соответствующий общгму признаку из п. 96, гласит: для сходимости интеграла (I) необходимо и достаточно, чтобы
?' !
I <р (х) dx j < 8
для JCg > л, ^ X(S).
4°. Читателя не должно смущать то обстоятельство, что термин бесконечный интеграл*)пожгт обозначать вполне определенное число, как 2 или
~ т.. Различие между бесконечным и конечным интегралом аналогично различию между бесконечным и конечным рядом. Однако никто не предполагает, что бесконечный ряд обязательно расходится. 5°. Интеграл
x
<р (t) dt
был определен в пп. 161—2 как простой предел, т. е. как пргдел некоторой конечной суммы. Несобственный интеграл является поэтому пределом предела нли так называемым повторным прадедом. Понятие несобствен* ного интеграла существенно сложнее понятия обычного определенного интеграла, развитием которого оно является.
6°. Интегральный признак из п. 180 может быть теперь сформулирован так: если у (х) положительна и монотонно убывает с возрастанием х, то бесконечный ряд S ср (и) и несобственный интеграл
оо
j ср (х) dx 1
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
7°. Читатель без труда сформулирует и докажет теоремы о несобственных интегралах, аналогичные теоремам (1) — (6) п. 77. Так, теореме (2) соответствует следующая теорема: если
со
J ср (х) dx\
а
со
j ср (х) dx &
Ь со
J ср (х) dx = ^ ср (X) dx'+ j*[<? (х) dx.
сходится и Ь>а, то
также сходится и
*) „Бесконечный интеграл" является точным переводом английского термина и означает несобственный интеграл; обычный интеграл автор обо значает термином „конечный интеграл". Смысл замечания 4° становится по нятным только в связи с английской терминологией. (Прим'перев.)
358
Г лава восьмая
185. Случай положительной Естественно рассмотреть те
общие теоремы о сходимости или расходимости несобственного интеграла (1) из п. 184, которые соответствуют теоремам А — D п. 173. Что теорема А имеет место и для интегралов, мы уже видели в п. 184, 2°. Теореме В соответствует следующее предложение: необходимым и достаточным условием сходимости интеграла (1) является существование такой постоянной К, что
x
fc(t)dt<K
а
для всех значений х, больших а. Аналогично, в соответствии с С, мы имеем: если
со
J 9 (X) dx
а
сходится и (х) ^ /Сер (л:) для всех значений х, больших а, то
со
J §(x)dx
а
также сходится и
со со
J <** (х) dx^K J ф (лг) dx.
а а
Формулировку соответствующего признака расходимости мы оставляем читателю.
Отметим, что признак Даламбера (см. п. 175), существенно зависящий от понятия следующих друг за другом членов, не имеет аналога для интегралов; аналог признака Коши практически не играет большой роли и, во всяком случае, может быть сформулирован только после того, как мы подробнее изучим (в гл. IX) функцию 9 (je) = г*. Наиболее важные специальные признаки получаются, сравнением с интегралом
oo
а
сходимость и расходимость которого мы уже исследовали в п. 181. Эти признаки состоят в следующем: если 9(x)<^Kx~s, где s^>l, для всех jc а, то
оо' о
j 9 (je) ube
о
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 359
треугольника равна .-а-, и очевидно, что для любого значения
E оо
j tp{x)dx<2jn-±w,
оо О
так что I v(x)dx сходится. Но tp (х) не стремится к нулю, о
Примеры LXXIII. 1. Интеграл
J
ахг + $Х>--1 + ...4-\ Л_
AxS + BxS-i + .-. + L ах'
где а и А положительны, а а больше наибольшего корня знаменателя (в случае, если знаменатель вообще имеет действительные корни), сходится, если s>r+l, и расходится, если ssgr+l.
2. Установить, какие из следующих интегралов сходятся:
oo oo oo oo oo oo
Г dx (' dX Г ЛХ (* ХЛХ С J<Ldx {' X8AX
J V^' J Xі71' J ^+*" J °* + Х*' J •> a + 2(U-a + Tx* *
а 9 а а а а а
В первых двух интегралах предполагается, что а > 0, а в последнем, — что а больше наибольшего корня знаменателя (если он вообще имеет действительные корни).
еходатся; если же ср (дг) ^> К x~s, где К^>0 и ssSl, для х^а, то интеграл расходится. В частности, если
Hm Xs 9 (дг) = /,
где 1^>0, то интеграл сходится или расходится в зависимости от того, будет ли s~^>l или ^1.
Имеется одно основное свойство сходящихся бесконечных рядов, аналог которого для несобственных интегралов неверен. Если .S <р (п) сходится, то срч(п) —0; но не всегда верно, даже если tp (х) положительна, что если
oo
J tp {х) dx
а
сходится, то tp(x) —> O.
Рассмотрим, например, функцию tp (х),' график которой изображен на фиг. 46. Здесь ордината всех максимумов в точках х=1, 2, 3,... равна
2
единице, а основание n-го треугольника равно . Площадь такого
