Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
360 Глава восьмая
J xcosxdx, J x"Cos(c<x + ?)rfx,
где я— положительное целое число, неограниченно колеблются при J-^CO. 5. Интегралы от—оо. Если
а
І'f (х) dx
і
стремится к пределу / при \ —— со, то мы говорим, что
dx
сходится и равен /. Такие интегралы обладают всеми свойствами интегралов, рассмотренных в предыдущих пунктах, и читатель без труда сам сформулирует эти свойства.
6. Интегралы от — оо до+ со. Если оба интеграла
а оо
J ср (х) dx, J ср (х) dx — со а
сходятся и имеют, соответственно, значения k и /, то мы говорим, что
СО
J* ср (х) dx
сходится и имеет значение k + U
7. Доказать, что
О со сю
J' dx _ і" dx _J_ C dx _ 1
-QO O — 00
8. Доказать, что
j* (xs)rfx=2J tf(xs)rfx,
если интеграл в правой части сходится. 9. Доказать, что если
OO
J X ср (х2) dx о
сходится, то OO
J* хер (ха) dx = 0.
3. Интегралы E ?
J* cos X dx, j cos (a* + ?)rfx
a a
ограниченно колеблются при — ос.
4. Интегралы
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 36 E
1J Мы поменяли местами / и ср.
10. Аналог теоремы Абеля из п. 179. Если ср (х) положительна и монотонно убывает а
со
J ч(х)ах
а
сходится, то хср(х) —0. Доказать это (а) с помощью теоремы Абеля и интегрального признака и (Ь) непосредственно рассуждениями, подобными проведенным в п. 179.
11. Если а=х0< х, < х. < . ¦¦ и х„ —оо, то из сходимости
oo
(ср (х) dx
а
следует сходимость 2 ип, где
Un = J <? (х) dx.
хп
Если ср (х) положительна, то обратное предложение тоже имеет место.
[В общем случае обратное предложение может не иметь места; это» видно из примера cp(x) = cosx, Xn = пт..\
186. Распространение на несобственные интегралы правил замены переменного и интегрирования по частям. Правила преобразования определенного интеграла, рассмотренные в п. 166,. могут быть распространены и на несобственные интегралы.
(1) Преобразование подстановкой. Предположим, что
со
J qp (X) dx (1)
а
сходится. Предположим, далее, что для любого значения ?, большего а, мы имеем, как в п. 166]):
jjc?{x)dx= ijc?{f(t)}f'(t)dt, (2}
а Ь
где а =/(/)), $=/(т). Предположим, наконец, что соотношение X= f{() таково, что х—>со при t—»со. Тогда, устремляя •t, а следовательно, и \ к бесконечности, мы заключаем из (2), что интеграл
oo
1/(0} /'(О dt (3)
ь
сходится и равен интегралу (1).
¦362 Глава восьмая
-a J «p(rf+p)«
в зависимости от того, положительно о или отрицательно.
3. Если tp(x)—положительная и монотонно убывающая функция от х и а и ?—любые положительные числа, то из сходимости одного из рядов S ?(я), ЕЙ1"* + ?) следует сходимость другого.
[Подстановка х — at+ ^ сразу показывает, что интегралы
со со
J tp (х) dx, ^ <f(at + ?) <#
(a - W/o
либо оба сходятся, либо оба расходятся. Теперь применить интегральный признак.
С другой стороны, может случиться, что \ —* оо, когда X —> — оо «ли когда т—»с. В первом случае мы получаем:
СО 1
Г cd (X) dx = Hm Г7 {/(0} /' (О Л =
*/ •C-* — со */
Ь Ь
= -Нш Г ф{/(0}/'(0^ = — Г 9 {/(O}/ (О Л,
X-+-CO*'' V
T —OO
а во втором случае
со *с
J9 (X) dx = lim J9 {/(O}/' (t) dt. (4)
a ~* b
К этому равенству мы еще вернемся в п. 188.
Соответствующие результаты для интегралов от —оо до a и от —оо до оо читатель сможет сформулировать сам.
Примеры LXXIV. 1. Показать с помощью подстановки x = ta , что если s > 1 и а > 0, то
оэ оо
( X-Sdx = « і ta(i-s)~1 dt>
І І
и проверить результат непосредственным вычислением каждого интеграла. 2. Если
со
J ш (х) dx
а
сходится, то он равен либо
OO
a J ср (at + ?) dt,
(a - ?)/a
либо
{а —J)/a
\dt
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 363
dx
j (1+•*•)» И J(I +a:8)"+ V3 і о о
где п — положительное целое число.
(Экз. 1929, 1935 гг.)
[Подстановка х = ctg 9 приводит к интегратам
Vs Va
1 sin2" ~ 2Od 6 и I sin2" —1 G rf O.
Теперь применить результат примера LXVI. 10.]
6. Если <р(х) —- Л при х--со и ср(х) —^ ft при х— — со, то
oo
J {ср(х — а) — ср(х — *)} dx = — (a — b)(h — k).
— oo
!Действительно,
і {ер (х—«) —<р(х— b)}dx=\ (f(x — a)dx— \ <?(х — b)dx =
— V -E' -і'
і —a Е_ Ь — V —o Е —Ь
== J <f(t)dt— J <f(t)dt= J <?(t)dt~- j ?(*)<«.
— —a — E' — ft _?>_a e_a
Первый из интегралов в правой части может быть представлен в виде
- E'- » (a-b)k+ j" pdt,
где р—*0 при -со и абсолютная величина последнего интеграла не превосходит \а — b\ v., где % обозначает наибольшее значение р в интервале <— а, — ?'— Ь). Следовательно,
_Е'-&
Г a(t)dt-+(a — b)k.
Аналогично вычисляется предел второго интеграла.]
(2) Интегрирование по частям. Формула интегрирования по ¦ частям (см. п. 166) имеет вид
E E
JV (*) ?' (X) dx =/($)9 (S) —/(a) 9 (a)— J/' (*) 9 (*)
4. Показать, что
oo
J {1+х)У"х 2 '
(Положить х = Р.]
