Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
J Q„(x)e(x)dx = 0
а
для любого многочлена 6(х) степени меньшей я, то Qn (х) = CPn (х), где С — постоянная.
[Мы можем найти такое х, что Qn — у.Рп будет иметь степень я—1-тогда '
3 ?
J Qn (Qn - *Рп) dx = 0, J Pn (Q„ - *РЯ) rfx = 0
ГЛАВА VIII
СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
171. В гл. IV мы разъяснили, что понимается под сходящимся, расходящимся и колеблющимся бесконечным рядом, и проиллюстрировали наши определения на нескольких простых примерах, связанных, главным образом, с геометрической прогрессией
1 + AT-f-JC2 + ...
и некоторыми другими аналогичными рядами. В настоящей главе мы подвергнем бесконечные ряды более систематическому рассмотрению и докажем ряд теорем, которые дадут нам возможность определить, сходятся ли простейшие ряды, обычно встречающиеся в анализе. Мы будем применять обозначение
я
«m + «m+l + • • • + "« = 2 «v
т
со
и писать 2 ип> или просто 2 "п> вместо о
172. Ряды с положительными членами. Теория сходимости рядов сравнительно проста, когда все члены ряда положительны2).
') Несущественно, записывазм ли мы ряд в виде U1 -\- и.г + ... (как в гл. IV) или в виде щ-f-U1 -f-... (как здесь). В настоящей главе мы будем дальше рассматривать ряды вида ай -f- а^х + я2х2 + ..., а для этих рядов принятое здесь обозначение, очевидно, более удобно. Поэтому мы примем это обозначение в качестве основного. Но мы не будем применять его всегда, и будем иногда, когда это представляется более удобным, считать, что щ является первым членом ряда. Так, например, при рассмотрении ряда
1 + ту + т + • • • удобнее положить Un=,— так что ряд начинается с U1,
6 о її
чем Un = д (когда ряд начинается с ий). Это замечание применимо,
в частности, к примеру LXVIII. 4.
2) Здесь и в дальнейшем „положительны" означает „положительны или равны нулю".
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 341
Мы сначала рассмотрим такие ряды, и не только потому, что их рассмотрение проще, но и потому, что исследование сходимости рядов с знакопеременными или комплексными членами часто приводится к аналогичным исследованиям рядов с положительными членами.
Когда мы исследуем вопрос о сходимости или расходимости бесконечного ряда, то можно пренебречь любым конечным числом его членов. Так, если ряд содержит только конечное число Отрицательных или комплексных членов, то мы можем отбросить их и применить следующие далее теоремы к остающемуся ряду.
173. Напомним следующие основные теоремы о рядах с положительными членами, доказанные в п. 77.
A. Ряд с положительными членами либо сходится, либо расходится к оо, но не может колебаться.
B. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы ряд 2ил сходился, является существование такого числа К, что
"о + м1 + --- + "«<^
для всех значений п.
C. Принцип сравнения. Если J^un сходится и Vn^un для всех значений п, то J^vn также сходится и Zvn^JZun. Вообще, если Vn^Kun, где К — постоянная, то J^vn сходится и ^vnsg KJ^un. Если же 2мпрасходится и Vn^Kun, где К положительно, то J^vn также расходится.
Более того, длл определения сходимости или расходимости ^vn с помощью этих признаков достаточно знать, что они выполняются для всех достаточно больших значений п, т. е. для всех значений п, превосходящих некоторое определенное значение л0. Но в этом случае неравенство Zvn^ KJ^un, конечно, может и не иметь места.
Укажем особенно важный частный случай этой теоремы.
D. Если ^un сходится (расходится) и "п стремится при
vn
п —*- оо к пределу, отличному от нуля, то ?vn также сходится (расходится).
174. Первые приложения этих признаков. Наиболее важной теоремой о сходимости специальных рядов из числа доказанных до сих пор является теорема о сходимости 2Г" ПРИ Г<С * и Расх°ди-мбсти этого ряда при 1 В теореме С естественно положить Un = гп. Тогда мы получим следующие результаты.
1. Ряд J^vn сходится, если vns^Krn, где г<^1, для всех достаточно больших значений п.
') В настоящей главе предполагается, что г положительно или равно нулю.
342 Глава восьмая
vn, ^0 + 1 vn-i " ипа un0 + i
(2)
так что Vn^SKun, где К не зависит от п. Аналогично,
Vn -" Un
для H^n0 влечет за собой Vn^Kun с некоторым положительным К-Следовательно, мы имеем:
4. Если (1) имеет место для всех достаточно больших значений п и ?ип сходится, то ^vn также сходится.
5. Если (2) имеет место для всех достаточно больших значений п и J^un расходится, то ^vn также расходится.
Полагая в теореме 4 Un= г", находим:
6. Ряд ^vn сходится, если —-^г, где г<^1, для всех до-
Vn
статочно больших значений п.
Этот признак известен под названием признака Даламбера. Соответствующий признак расходимости, состоящий в том, что ^vn
расходится, если -п~^г, где г ^1. для всех достаточно больших
Vn
значений п, тривиален,
Когда K=I1 это условие может быть записано в виде vn/n^r. Мы получаем известный признак Коши сходимости рядов с положительными членами:
