Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Проективные аксиомы плоскости будут верны, если мы предположим, что точка P достаточно удалена от эллипса.
Поместим теперь два гомологичные треугольника вне эллипса E так, чтобы их стороны не встречали E1 три прямые, которые соединяют попарно соответствующие вершины, если под ними подразумевать прямые в обычном смысле слова, по теореме Дезарга пересекутся в одной и той же точке Q: предположим, что эта точка Q лежит внутри Е. Если теперь мы будем понимать слово прямая в новом смысле, то три прямые, соединяющие соответствующие вершины, отклонятся, войдя внутрь эллипса. Следовательно, они не пройдут больше через точку Q, они не встретятся больше. Теорема Дезарга не имеет места в нашей новой геометрии; это геометрия—не-дезаргова. *
Не-паскалева геометрия. Гильберт не останавливается на сказанном и вводит еще новую концепцию. Чтобы лучше понять ее,
Отчет о работах Д. Гильберта.
121
необходимо на время вернуться в область арифметики. Мы видели выше как понятие числа было расширено введением не-архимедо-въи чисел. Нам нужна классификация этих новых чисел и, чтобы добиться ее, мы распределим аксиомы арифметики по следующим четырем группам:
1- Законы ассоциативности и коммутативности сложения, закон ассоциативности умножения, оба закона дистрибутивности умножения; или, короче говоря, все правила сложения и умножения, за исключением закона коммутативности умножения.
2. Аксиомы порядка, т. е. правила исчисления неравенств.
3. Закон коммутативности умножения, на основании которого можно изменить порядок сомножителей, не изменяя произведения.
4. Аксиома Архимеда.
Числа, которые удовлетворяют аксиомам первых двух групп, называются дезарговылт; они могут быть паска левым и, или не-паска-левыми; смотря по тому, удовлетворяют они или нет аксиоме третьей группы; и они будут архимедовыми или не-архимедовьши, смотря по тому, удовлетворяют они или нет аксиоме четвертой группы. Мы скоро увидим основание для этих названий.
Обыкновенные числа суть в одно и то же время и дезарговы, и паскалевы, и архимедовы. Исходя из аксиом первых двух групп и из аксиомы Архимеда, можно доказать закон коммутативности; не существует, следовательно, чисел одновременно дезарговых, архимедовых и не-паскалевых.
Зато мы уже приводили пример чисел одновременно дезарговых, паскалевых и не-архимедовых; я буду называть эти числа числами сиот мы Т; я напоминаю, что каждому из этих чисел соответствует строка вида
A0tm-JrA1tm •+-----
где все .1 суть обыкновенные вещественные числа.
Нетрудно аналогичным путем составить систему чисел дезарговых, не-паскалевых и не-архимедовых. Элементами этой системы будут строки вида
A = V-I-T1*"-1+
где »¦ есть символ, аналогичный t, п—целое положительное или отрицательное число, и 7'0, T1. . . . суть числа системы Т; заменяя,
А. Пуанкаре.
таким образом, коэффициенты 7'0, Tx ... . соответствующими строками от /, мы имели бы строку, одновременно зависящую от / и от Строки S складываются по обыкновенным правилам; равным образом при умножении этих строк мы допустим правила дистрибутивности и ассоциативности, но вместе с тем предположим, что закон коммутативности не имеет места и что напротив st = —1< 3).
Остается только разместить строки в определенном порядке для того, чтобы удовлетворить аксиомам порядка. Для этого присвоим строке .S' знак первого коэффициента T11; одна строка будет считаться меньше другой, если, будучи вычтена из этой последней, даст положительную разность. Это, значит, все то же самое правило: / рассматривается, как чрезвычайно большое по отношению к произвольному обыкновенному вещественному числу,* a s рассматривается, как чрезвычайно беТльшое^по отношению ко всякому числу системы Т.
Так как закон коммутативности не имеет места, то эти числа наверно суть не-паскалевы числа.
Прежде, чем игги дальше, напоминаю, что Гамильтон давно ввел уже систему комплексных чисел, где умножение не коммутативно; это—кватернионы, которые англичане так часто употребляют в математической физике. Но для кватернионов аксиомы порядка не имеют места; в концепции ^ильберта оригинально именно то, что новые числа удовлетворяют аксиомам порядка, не удовлетворяя правилу коммутативности.
Возвратимся к геометрии. Допустим аксиомы трех первых групп, т. е. проективные аксиомы плоскости и пространства, аксиомы 'порядка и постулат Евклида; теорема Дезарга может быть выведена из них потому, что она есть следствие проективных аксиом пространства.
Мы хогим создать нашу геометрию, не пользуясь метрическими аксиомами; слово длина еще не имеет, значит, для нас никакого смысла, мы не имеем права пользоваться циркулем; но зато мы можем пользоваться линейкою, потому что мы допустили, что через две точки можно провести прямую, в силу одной из проективных аксиом; мы умеем равным образом проводить через точку параллельную к данной прямой, потому что мы допускаем постулат Евклида. Посмотрим, что из всего этого мы можем вывести.
Отчет о работах д. Гильберта.
123
-Мы можем определить гомотетию двух фигур; два треугольника будут называться гомотетичными, если их стороны попарно параллельны, и мы выводим отсюда (на основании допущенной нами теоремы Дезарга), что прямые, соединяющие соответствующие вершины, сходятся в одной точке. Мы воспользуемся затем гомотетиею для того, чтобы определить пропорцию. В известной мере мы можем также определить равенство.
