Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Я могу только резюмировать здесь общий ход идей Гильберта. Он показывает сначала, что точки окружности могут быть размещены в определенном круговом порядке и что этот порядок не нарушается вращениями; он показывает затем, что этот порядок входит в тот же тип порядка, как и соответствующий порядок обыкновенной окружности, т. е. в тип континуума. Он выводит отсюда то след-ств ie, что окружность есть замкнутая непрерывная кривая, так как она должна точкой за точку соответствовать обыкновенной окружности.
Далее видно, что, если вращение не перемещает одну из точек круга, то оно не переместит и никакой другой точки этого круга. Отсюда можно вывести, что если вращение не перемещает ни одной точки, кроме центра, то оно не переместит ни одной точки плоскости и, следовательно, сводится к тождеству. Наконец, отсюда вытекает, что группа вращений вокруг некоторой точки M имеет ту же структуру, как и группа обыкновенных вращений.
В то же время видно, что нет движения, которое оставляло бы неподвижными две точки плоскости, и что можно вращениями перейти от одной точки плоскости к другой произвольной точке той же плоскости.
Все эти доказательства крайне деликатны; они нуждаются в многократном пользовании теоремами Кантора, это значит, что по необходимости они очень длинны и что цель, которая видна сразу и которой, кажется, касаешься, может быть достигнута только после долгих усилий.
Но главное уже достигнуто; мы знаем, что наша группа есть группа производная от некоторых подгрупп, подгрупп вращений, структуру которых мы знаем; и эта структура вводит их в катего-' рию непрерывных групп Ли.
134
А. Пуанкаре.
Нам остается победить еще немногие трудности, но Гильберт хочет определить сначала прямую, и он делает это чрезвычайно оригинально. Он отбрасывает сначала проективные определения прямей, которые потребовали бы соображений, чуждых его предпосылкам. С другой стороны, его геометрия есть геометрия плоская. Если бы мы могли располагать пространством трех измерений, то теория групп естественно привела бы нас к очень простому определению прямой, рассматриваемой, как ось вращения; но здесь мы не можем этим пользоваться, потому что мы не можем выйти из плоскости.
Гильберт идет по совершенно иному пути. Пусть имеются две точки А и В; определим середину M этих двух точек, т. е. центр вращения, переводящего А в В и В в А. Гильберт начинает с доказательства того, что две точки всегда имеют середину и притом— только одну. Здесь то и является на помощь то условие, которое раньше должно было удивить читателя; было предположено, что последняя аксиома (та, которая вкратце формулируется словами, что группа движений есть замкнутая система) применяется не только к двум точкам, но и к трем точкам. Потому-то и введена была гипотеза более ограничительная, чем та, которая имела бы место в случае, если бы ограничились рассмотрением только двух точек A0 и B0. Очень ли необходимо было это ограничение ?
В этой-то части теории оно и сыгрывает свою роль. Мы имеем бесконечность точек B1, B2, Bn и середины J/,, M2,.... Mn, отрезков AB1, AB2,..., ABn; когда п растет неопределенно, Bn стремится к В и Mn к J/, и условием, о котором идет речь, пользуются, чтобы показать, что M есть середина отрезка AB. Было ли невозможно обойтись без него, в этом можно убедиться только построив специальную псевдо-геометрию.
Как бы то ни было, когда даны две точки А и В, Гильберт строит середину отрезка AB, потом середины отрезков MA и MB и так далее. Он получает таким образом бесконечное множество точек, составляющих ансамбль Е; он рассматривает производную этого ансамбля Е, т. е. ансамбль точек, в соседстве которых имеется бесконечность точек ансамбля Е. Он показывает, что эта производная есть непрерывная линия, и вот эту-то линию он называет прямою
Отчет о работах д. Гильберта.
135
Основные начала геометрии евклидовой или не-евклидовой обыкновенной и, в частности, метрические аксиомы могут быть тогда легко установлены.
Нельзя не быть пораженным контрастом между точкою зрения Гильберта в этом мемуаре и тою, которую он предпочел в своей Festschrift. В этой последней аксиомы непрерывности занимают последнее место, и громадное значение имел вопрос, что делается с геометриею, если мы от них отказываемся. Здесь, наоборот, исходною точкою является непрерывность, и Гильберт занят преимущественно вопросом, что можно извлечь из одной непрерывности, связанной с понятием о группе.
Нам остается еще говорить о мемуаре: Ueber Flachen von Konstanter Gausscher Krurnrnung. Бельтрами, как известно, показал, что в обыкновенном пространстве имеются поверхности, которые являются изображением плоскости Лобачевского; таковы поверхности с постоянною отрицательною кривизною; известно, какой толчок дало это открытие не-евклидовой геометрии. Но возможно ли представить всю плоскость Лобачевского целиком на некоторой поверхности Бельтрами без особенных точек?
Гильберт доказывает, что это невозможно; он опирается при этом на следующие теоремы, относящиеся к поверхностям Бельтрами:
