Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
j— х dxx ... йхл-х dxj + x ... dxn
ш = -jp-
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 279
Пусть теперь х— любая точка поверхности Р = 0. Мы можем построить здесь новую систему координат
^ = 2 ajkxk (У — 1» 2.....п) так, чтобы Ф 0 при всех j.
Тогда по доказанному в окрестности данной точки будут справедливы все соотношения
С другой стороны, мы имеем:
ЪЩ.= 2j dxl Ж, = 2и аз"к Щ • J j
Умножая равенство (8) на ссуй и складывая по J, находим, что в окрестности данной точки
дв (Р) дхк
g* , ае (Р) dp s
Таким образом, функционалы ^ и совпадают
в окрестности любой точки поверхности Р = 0. Но тогда это равные функционалы, что и завершает доказательство. Иногда удобно рассматривать обобщенные вектор-функции,. т. е. векторы f~(fi, /„). где составляющие /а...../„ — обобщенные функции. Две вектор-функции f=(flt . . ., /„) и g—(gu . . ., gn) считаются равными, если fi = gx, fn — gn. Если положить для любой обобщенной функции g
.....<9>
то формулу (7') можно записать в виде
grad 8 (Р) = .8 (Р) grad Р. (7")
В следующем пункте эта формула будет использована для простого вывода формулы Грина.
4. Пример: вывод формулы Грина. В предыдущем пункте мы упомянули о возможности рассматривать
обобщенные вектор-функции, т. е. векторы f=(fi...../„).
составляющие /j которых — обобщенные функции.
280 ГЛ. HI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
Обобщенные вектор-функции можно считать функционалами над основными вектор-функциями: если /= (Д, .... /п), ф = (ф1.....фя), то мы.полагаем
Например, если g— обобщенная функция, ф — основная функция, то мы можем записать функционал Ag (Д — оператор Лапласа) по формуле
(Д#. «|») = — (grad g, grad ф), (2)
где grad g — обобщенная вектор-функция {^—-, ••¦ , jjr)>
а gradф — основная вектор-функция (д^, jjpj-
В предыдущем пункте была доказана формула
grad 8 (Я) = 8 (Р) grad Р. (3)
Пользуясь ею, мы сейчас дадим простой вывод формулы Грина.
Заметим, что если ^ — обобщенная, a h (х) — бесконечно дифференцируемая функция, то, как обычно,
grud-ihg) —ggtud.h-\-hgt&Ag.
Пусть и(х) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция; рассмотрим результат применения к основной функции cp(jc) функционала Д[и0(Р)]. Используя векторную форму записи, мы преобразуем это выражение следующим образом:
(Д[и6(Р)], ср)= — (grad [в в (Р)], gradcp)= .
= — (" &rad 9 {Р)> grad ср) — (в (Р) grad a, grad ср) = = — (ы 8 (Р) grad Р, grad ср) — (0 (Р) grad и, grad ср).
Вспоминая определение функционалов 8(Р) и 6 (Р), мы можем написать:
(Д[«6(Р)], <р) =
— — f (gfad и, grad ср) dx — J* и • (grad P, grad cp) to. (4)
5] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 281
(?) = dP • шк (ср), (3)
где d — внешний дифференциал.
Существование этих форм в некоторой области, содержащей поверхность Р = 0, легко проверяется в координатах их = Р, и2.....ип. Действительно, вспоминая, что
duo . . . da.
п
и полагая ср (х) = cpi(«),< мы можем написать уравнение du,o=d(<Pi<0) = g^(<Pi?)(a))dai •• • dun=dP ¦ о)! (ср),
Это и есть формула Грина в обобщенной записи. В том случае, когда Р(х) есть с точностью до малых высшего порядка расстояние от точки х до поверхности Р — 0 и, следовательно, gradP есть единичный нормальный вектор, (grad Р, grad ср) будет нормальной производной функции ср, а ш сведется к евклидовому элементу da поверхности Р = 0. В этом случае формула (4) переходит в обычную:
j* Lu ср dv = — j* (grad и, grad ср) dx — f иШ da- (5)
Мы доказали ее для бесконечно дифференцируемых функций а и ср; но теперь предельным переходом ее можно распространить на функции и и ср, имеющие производные только того порядка, который требуется самой формулой.
б. Формы й)& («р) и обобщенные функции s(&) (р). Важную роль играют и производные функционала 8(Р) по аргументу Р. Чтобы дать их инвариантные определения, мы введем, кроме формы ш, еще серию дифференциальных форм (п—1)-го порядка, ш0(ср), (o1(f), зависящих от
функции Я и от основной функции ср (х); эти формы определяются уравнениями
">(>(?) = ?•">, (1)
rfO)0 (ср) = dP-m1 (ср), (2)
282 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
откуда видно, что можно положить
Далее, таким же образом имеем уравнение
d(^^))=-^(f1D^yPdu2 .... dun = dP- ш2(ср),
и можно положить
^W = ?>(^D(X))du2...dun
и т. д.; вообще,
^)-?f(^DQ)du2...dun, (4)
где срх («) = ср (х).
В отличие от формы ш эти новые формы уже не определены однозначно функцией Р (х) (и основной функцией ср(х)) даже на поверхности Р = 0. Но для нас важно лишь то, что интеграл от формы ш^(ср) по поверхности Р=0 определен однозначно. Чтобы убедиться в этом,
мы сейчас проверим, что если форма <%(?) удовлетворяет тому же уравнению, что и шк (ср), то
°>& — <% = da -j- В dP, (5)
где а и В — некоторые финитные формы соответственно (ft— 1)-го и (ft — 2)-го порядков. Сначала поясним, почему отсюда следует однозначность интеграла. На поверхности Р=0 второе слагаемое обращается в нуль, так что
