Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
gradP=?0 (5)
(т. е. на поверхности Р = 0 нет особых точек). Тогда можно определить обобщенную функцию 8(Р) следующим образом.
В достаточно малой окрестности U произвольной точки поверхности Р = 0 мы можем ввести новые координаты так, чтобы поверхность' Р = 0 стала одной из координатных
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 261
поверхностей. Для этого мы положим Р — их и остальные координаты и2.....ип выберем произвольно, но так, чтобы
якобиан D ^ *и ^ переменных Xl.....хп по переменным
ии ип был отличен от нуля (это всегда можно сделать благодаря условию grad Р Ф О при Р = 0). Не ограничивая общности, можно считать, что основная функция ср (д:) отлична от нуля лишь в пределах окрестности U *). Произведем в «интеграле» J Ь (Р) ср dx, который мы хотим определить, замену переменных:
/ 8(Р)<р(*)Лс = f S(P)<px (a)D(*)da = fb(a1)<b(a)da, где
- ?i(«i.....Ия) = <рС*1.....**) и * = (6)
Отсюда видно, что обобщенную функцию о (Р) следует определить формулой
(8(Р). ?) = /8(P)<pdj: = /Ф(0, а2, . . ., un)du2 . . . dan. (7)
Последний интеграл берется по поверхности Р = 0; это и дает основание говорить, что функционал S (Р) сосредоточен на поверхности Р = 0.
Аналогично естественно положить
фт (Р), <р) = j*8(*)(P)<prfjc =
= (— / (о. «2- • • • - О<*«2 . .. rfa„. (3)
где функция ф(ы) определена формулой (6) и интеграл справа в (8) снова берется по поверхности Р = 0.
Чтобы эти формулы имели смысл, заведомо достаточно предположить, что функция Р (х) имеет непрерывные производные до порядка k -f- 1.
На первый .взгляд кажется, что определения (6) и (7) существенно зависят от выбора системы координат. На
*) См. добавление 1 к гл. I, п. 2.
262 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
самом деле это не так: мы покажем, что обобщенные функции 8 (Р), о' (Р), . . . однозначно определяются функцией Р. Наиболее удобно дать их определения в инвариантной форме, в которой специальные координаты ии . . ., ап вообще не участвуют, и при этом вести рассуждения, пользуясь так называемой теорией дифференциальных форм. Те читатели, которые хотят обойтись без дифференциальных форм, могут пользоваться готовыми формулами; мы перечислим их несколько ниже. Однако аппарат дифференциальных форм чрезвычайно удобен, и мы его в этом параграфе будем систематически применять. Необходимый минимум сведений о дифференциальных формах излагается в п. 1.
Под знаком интеграла справа в (7), если вернуться к старым координатам и обозначениям функций, стоит линейная комбинация функции <?(х) и ее производных с зависящими от х коэффициентами. В п. 7 мы покажем, что всякий функционал / вида
выражается через 8 (Р), 8'(Р) и т. д. следующим образом: (/. ?) = 2 /l>j(x)№(P)?dx. (10)
В записи (10) только k-\-l произвольных функций, т.огда как в записи (9) их гораздо больше. Запись (9) обладает тем преимуществом, что она однозначна: если f — О, то Ь0(х)— ... =Ьк(х) — 0, тогда как о коэффициентах ai,...in(x) этого сказать нельзя.
Приведем теперь перечень формул, которые мы позднее докажем. В этих формулах функцию Р надо считать имеющей большую гладкость, чем мы выше предположили; чтобы не отвлекаться, мы сразу предположим Р бесконечно дифференцируемой.
Обозначим через 6 (Р) характеристическую функцию области Р ^ 0:
ГО при Р<0, Г
6(PHl при Р>0. (»(Я).9)- J.TWtf*. (И)
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 263
а^§№)(р) = ^§(*+1)(р) (* = о.1.2. ...).
(13)
Справедливы также следующие тождества, связывающие обобщенную функцию 8 (Р) с ее производными:
Р8(Р) = 0. (14)
Р8' (Р) 4- 8 (Р) = 0. (15)
PS" (Р) -f - 28' (Р) = 0, (16)
р§(й)(р)4_^§№ Ч(р)==0, (17)
Если поверхности Р = 0 и Q = 0 (функция Q обладает теми же свойствами, что и Р) не пересекаются, то
B(PQ) = P-18(Q) + Q-18(P). (18)
В частности, если функция а (х) не обращается в нуль, то
Ъ(аР) = а~П(Р). (19)
Отсюда можно вывести, что
8(*> (аР) = а-Я+Ч № (Р), • (20)
Сказанное выше относится к функционалам, сосредоточенным на (п — 1)-мерной поверхности в «-мерном пространстве. Пусть .теперь поверхность 5 имеет меньшее число измерений. Предположим, что она задается уравнениями
Рх С*ч. • • ¦ ¦ *п>= 0.....рА*1 ¦ • • •. *») = о. (21)
Тогда справедливо равенство
G'(P) = 8(P), (12)
которое надо понимать в следующем смысле:
^ = ^<Р). (.20
Далее, справедлива формула «дифференцирования 8№) (Р) как сложной функции»:
264 ГЛ. 111. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
где
<Pi(«) = ?(*) и «l»(a) = <Pi(fl)D(*), (22)
то мы должны положить
/ 8 (Л. • • Pjd<?dx =
= /ф(0. . • ., О, ик+1, .... un)dak+1 . . .. dun; (23) по таким же мотивам следует положить
•да'+-+акЪ(Ръ...,Рк) , ч. , 1Л.1+...+«*
дЯ"1 ... дЯ?*
ая,+ ... + а
X /--^ir,-«"л+i ¦ • • dun. (24)
J дыр ... дикк
В п. 9 мы покажем, что и эти определения не зависят от специального выбора системы координат. Для этих обобщенных функций справедливы следующие тождества:
