Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
—со
Тогда аналитический функционал
оо+гр-,
(V, ф)= f V(x, p)^(p)dp (ра>/>°)
есть преобразование Фурье обобщенной (даже обычной) функции и(х, t), обращающейся в нуль при г< 0 и удовлетворяющей уравнению (системе) (1).
Условия этой теоремы есть обычные условия существования обращения преобразования Лапласа. Преобразование Фурье функционала V записывается по формуле (2) п. 5 § 2:
u(x, t)=~ f V(x, p)e-*P*dp.
Равенство нулю функции и(х, t) для г<0 вытекает при этом из оценки
оо
\и(х. 0| <^ f.W(Pl)dPl,
—со
если устремить рг к -j- оо.
258
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[5
Пусть, далее, дана функция Vt(x, р), которая может быть представлена в форме
УЛх, p) = Q(jf)V(x, р), (4)
где V (х, р) обладает указанными выше свойствами, a Q (р) — некоторый многочлен.
Уравнение (4) эквивалентно уравнению
Ux(x, t) = Q^l ^ja(x, t),
где щ(х, t) и и(х, t) — обратные преобразования Фурье функций Vx(x, р) и V(х, р); мы видим, что и в этом случае Vx(x, р) есть преобразование Фурье функционала, сосредоточенного на полуоси t 0.
ГЛАВА III
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Простейшим примером обобщенной функции, сосредоточенной на поверхности, является обобщенная функция
где 5 — данная поверхность, da— ее элемент, f(x) — фиксированная функция, а ср (д:) — любая основная функция*). Несколько более сложный пример получается, если заменить подынтегральную функцию выражением, содержащим производные функции ср(дг).
В этом параграфе мы определим и изучим другие важные функционалы, сосредоточенные на поверхности размерности < п, лежащей в «-мерном пространстве. Для случая п—\, как мы знаем, функционалами, сосредоточенными в точке, являются дельта-функция и ее производные. Более того, как будет доказано во втором выпуске, всякий функционал, сосредоточенный в одной точке, является линейной комбинацией дельта-функции и ее производных. В случае «> 1, когда поверхность 5 (п.— 1)-мерна и задается уравнением
*) В этой главе основные функции предполагаются финитными и бесконечно дифференцируемыми, т. е. рассматривается только пространство К.
(1)
P(*i.....хп) = 0,
(2)
17*
258
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[5
Пусть, далее, дана функция V^x, р), которая может быть представлена в форме
Vi(x,p) = Q(p)V(x,p), (4)
где V (х, р) обладает указанными выше свойствами, a Q (р) — некоторый многочлен.
Уравнение (4) эквивалентно уравнению
ау{х, f) = Q(i ?)а(х. t),
где Ux(x, t) и u(x, t) — обратные преобразования Фурье функций Vi(x, р) и V(х, р); мы видим, что и в этом случае Уг(х, р) есть преобразование Фурье функционала, сосредоточенного на полуоси t^ 0.
ГЛАВА III
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Простейшим примером обобщенной функции, сосредоточенной на поверхности, является обобщенная функция
где 5 — данная поверхность, da — ее элемент, f(x)— фиксированная функция, а ср (х) — любая основная функция *). Несколько более сложный пример получается, если заменить подынтегральную функцию выражением, содержащим производные функции ср(дг).
В этом параграфе мы определим и изучим другие важные функционалы, сосредоточенные на поверхности размерности < п, лежащей в «-мерном пространстве. Для случая п—1, как мы знаем, функционалами, сосредоточенными в точке, являются дельта-функция и ее производные. Более того, как будет доказано во втором выпуске, всякий функционал, сосредоточенный в одной точке, является линейной комбинацией дельта-функции и ее производных. В случае п > 1, когда поверхность 5 (п—1)-мерна и задается уравнением
*) В этой главе основные функции предполагаются финитными и бесконечно дифференцируемыми, т. е. рассматривается только пространство К.
(1)
Р (хи .... хп) = О,
(2)
17*
260 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ
*) Мы пользуемся символикой, установленной в конце п. 3 § 1 гл. I.
**) Тем самым мы принимаем, что В (хг) есть прямое произведение В (х{) X 1 (хч, ..., хп), где Ъ (х{) — дельта-функция на прямой хъ а \ (хъ хп) — функция от переменных хъ...,хп, тождественно равная единице (см. гл. I, § 5, п. 1).
аналогичную роль играют обобщенные функции, которые мы обозначим через 8 (Р), §'(Р) и т. д.; о них и будет идти речь.
Если Р === хи т. е. если 5 есть гиперплоскость xt — 0, естественно считать, что *)
(8 ср (х) ) =: f 8 (Xl) ср (х) dx =
= III S ^ 9 ^ ' " " dXi] d*2 ' ' ' dXn = = J cp (0, x2.....xn) dx2 . . . dxn,
т. е. естественно определить обобщенную функцию 8 (х±) равенством **)
f s Oi) ? (х) dx = J ср (0, дг2.....дгге) дг2 . . . dxn. (3)
По такой же причине обобщенную функцию 8(ft) (jcL) естественно определить формулой
/ ЬЩ (xt) ср (х) rf* = <_!)*/ cpg) (0, jc2, . . ., *J rfx2 . . . rfxn.
(4)
Пусть теперь P(xu..., xn) — произвольная достаточно гладкая функция, такая, что при Р = 0
