Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
......^-i"% ре)
где Рх.....Рк— достаточно гладкие функции, причем поверхности Рг(х) — 0 (/=1,..., k) образуют «правильную сетку», т. е. в окрестности каждой точки поверхности S можно принять Рх(х),..., Рк(х) за первые k координат аи .... ик, а остальные координаты ик+х, .... ап выбрать
так, чтобы якобиан D ^ х ^ был отличен от нуля. В этом
случае мы аналогично предыдущему можем определить обобщенную функцию 8 (Я\, .... Рк) и ее производные dmh(Pi.....Рк) я
-—--——. А именно, если мы хотим, чтобы выполня-
дР\> ... dPpt
лось тождество
/ 8 (Pi.....Pk)<?dx = f Ь(аи .... uk)?1(u)D(xu)du =
= f 8 • • •. «*) Ф ("i» ¦ • • ¦ ujdu-i . . . dun,
1] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 265
(26) (27)
Р,Рг...РкЪ(Рх, Pk) = Q.
(28)
а также тождества, получаемые формальным дифференцированием последних.
1. Предварительные сведения о дифференциальных формах *). Дифференциальной формой k-ro порядка в «-мерной области с координатами хх, .... хп называется выражение вида
где суммирование проводится по всем сочетаниям п индексов по ft. Функции ai1...ik(x) предполагаются бесконечно дифференцируемыми функциями координат. При этом две формы k-ro порядка считаются равными, если они переходят друг в друга путем преобразования произведений дифференциалов по формуле
и приведения подобных членов.
Это условие, в частности, показывает, что каждый член формы, содержащий два одноименных дифференциала, равен нулю. Кроме того, пользуясь этим правилом, можно, если угодно, записать любую форму «в каноническом виде» —-так, чтобы в каждом члене индексы шли в возрастающем порядке.
Будем называть форму финитной, если все ее коэффициенты являются финитными функциями.
*) Теория дифференциальных форм не понадобится нам в максимальной общности; поэтому всюду, где можно, мы в целях наглядности вносим упрощения. Читателю, желающему подробнее ознакомиться с затронутыми в этом пункте понятиями, можно обратиться, например, к книге: П. К. Р а ш е в с к и й, Геометрическая теория уравнений с частными производными, Гостехиздат, 1947, или к книге: Ж. де Р а м, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, 1956,
2 abi,... lk(x)dxu . . .
dXi dx.- — — dxj dXi
(1)
266 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
Внешним произведением форм 2aii... ik(x)dxii • • • dxik и 2 ^i,... jm (x) Лх^ ... dx)m называется форма порядка k -j-m, полученная в результате формально алгебраического перемножения данных форм; результат этот можно, разумеется, дальше упростить, используя правило (1) и приводя подобные члены *).
Из этого определения, в частности, вытекает, что антикоммутативный закон справедлив и для произведения любых форм первого порядка а = ^а^(х)dxj и (3 = 2 °к(х)dxk; действительно,
а$ = 2 ai (х) h (х) dxj dxk = — 2 aj (х) ьк О) dxk dxj= — j. ft j, ft
Выведем формулу преобразования дифференциальной формы при бесконечно дифференцируемом преобразовании координат хх = хг(х[, jcQ. Мы имеем:
Слагаемые полученной суммы, содержащие два одинаковых дифференциала, обращаются в нуль. Слагаемые, содержащие одинаковые по составу группы из различных дифференциалов, можно объединить, используя правило dx'jdxk = — dx'kdx':, после этого коэффициентом при члене dx'. ... dx'. , где j1 < J2 < ... <.Jk, как легко проверить,
станет якобиан
D
xii хы • ¦ • хгк
*) Естественно, что коэффициенты ... t и 6^ ... ^ предполагаются перестановочными между собой и с дифференциалами.
1] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 267
(хх ... хп\ a dx-, . . . dxn — aD ( , , dx. ... dx .
(4)
Заметим, что no этой формуле преобразуются подынтегральные выражения при замене переменных в кратном интеграле. Можно, следовательно, при такой замене пользоваться техникой дифференциальных форм. Например, для двойного интеграла, если х = ср (и, v), у — ф (и, v), то
dx = <?'udu^-<?'vdv; dy = Yudu-\-Y1.dv.
dx dy = (ср^ф; — ?;<|/) du dv.
Внешний дифференциал дифференциальной формы
«= 2«i,... ik dxu . . . dxik
определяется как дифференциальная форма порядка ^ —f— I
i„ .. .,ik \ i '
где, разумеется, снова можно произвести упрощения, пользуясь правилом dxx dxj = — dxj dx^.
Например, внешний дифференциал формы нулевого порядка, под которой мы понимаем просто скалярную функцию а(х), есть обычный дифференциал, т. е, форма 1-го
Таким образом, мы получаем:
2 "и ... ikdxi> •-• dxik = *,<...<ift
= 2 a. . dx. ... dx' (2)
где
В частности, для формы га-го порядка, которая всегда приводится к одному члену, мы имеем:
268 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
порядка ^ .f д dxt (коэффициенты ее образуют градиент скаляра а(х)). Внешний дифференциал формы 1-го порядка 2ai(-*0 dXi есть форма 2-го порядка:
(если коэффициентам формы ^ а,- dxi сопоставить вектор a—{ai], то коэффициентам внешнего дифференциала будет соответствовать ротор вектора а). Дифференциал формы (п — 1)-го порядка
