Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
При достаточно большом г функция ср(дг) обращается в нуль; поэтому и ее среднее 5?(г) обращается в нуль; таким образом, (г) — финитная функция.
Очевидно также, что S9 (г) бесконечно дифференцируема при г > 0.
Чтобы убедиться в наличии всех производных у функции 59(г) и при г = 0, разложим функцию ср(лг) по формуле Тейлора. Тогда будем иметь:
Ясно, что каждое слагаемое подынтегральной суммы (кроме остаточного члена), содержащее нечетное число множителей Xj, после интегрирования обращается в нуль. Слагаемые подынтегральной суммы, содержащие четное число, скажем 2т, множителей Xj, после интегрирования и суммирования дадут член вида атг2т. Итак, мы получаем:
S4 (г) = Т (0) -4- аГ- + я2г* + . . . + апг™ + о (г«) *). (3)
Это выражение показывает, что при г — 0 функция S? (г) имеет производные до порядка 2k, причем нечетные производные равны нулю. Так как k можно взять произвольным, то S9(r) бесконечно дифференцируема при г = 0 и все ее нечетные производные при г*=0 обращаются в нуль.
*) у (х) =¦ о (х) означает, что отношение — стремится к нулю.
7*
100 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
Отсюда следует, что функцию (г) можно рассматривать как четную основную функцию переменного г. Интеграл (2) в таком случае можно понимать как результат применения функционала 2„x+ ([х = X-f-/i— 1) к основной функции Sv(x). Но мы хорошо знаем, что функция х+, аналитическая при Re [х >—1 (т. е. ReX>— п) допускает аналитическое продолжение на всю плоскость [х(Х) с исключенными точками [х = —1, —2, . . . (X = — п, — п-f- 1, . . •), в которых она имеет полюсы 1-го порядка; при этом вычет в полюсе \х = — /п(Х = —п—т -f- 1) равен
((_ iyn-l &(«-!) {x)r Sy _ S(m-D (0)
(/и—1)! (т —1)1 "
Но так как нечетные производные функции Sv(x) обращаются в нуль при х = 0, то полюсов, отвечающих четным значениям т, на самом деле нет. Остается серия полюсов, отвечающих значениям т — 1, 3, 5, ... или, что то же, X =— п, —п — 2, —п — 4, ...
Заметим, что вычет функции (rx, S9(x)) при Х = —п — 2k (& = 0, 1, . . .), как вытекает из вышесказанного, равен
(><»>(*), у*)) _ tf*>(0) ...
" (2k)l * (2/fe)l * '
В частности, в точке X = — га функция (гх, S^) имеет полюс 1-го порядка с вычетом 2И59 (0) = 2п<р (0). Это означает, что обобщенная функция гх при Х = —п имеет полюс 1-го порядка с вычетом Qnb(x).
Величину (0) можно выразить непосредственно через функцию <р, минуя ее усреднение.
Для этого мы построим иное выражение вычета обобщенной функции гх при Х =— п — 2k. Воспользуемся формулой дифференцирования
Д (rx+2) = (X + 2) (X + п) г\
где Д—оператор Лапласа. (При ReX>0 эта формула доказывается непосредственным подсчетом левой части, для остальных X она остается справедливой в силу аналитического продолжения.) Итерируя эту формулу, можно получить при любом целом k равенство
Г = (X + 2) (X + 4) ... (X + 2k) (X + п) (Х+л + 2) ... (X + п + 2k — 2) * J
Вычет функции гх при Х=—л — 2k можно теперь сосчитать как вычет правой части при этом значении X. Так как знаменатель
9]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
101
правой части при X = — л— 2k не обращается в нуль, то достаточно найти вычет числителя. Но для любой основной функции <j (х)
(AV+2*, «p(*))=(^+a*. а\(х)),
т. е. мы должны взять вычет функции (лх, Д*ср (х) ) при = — л. Такой вычет мы выше вычислили для любой основной функции; он равен значению этой основной функции в точке х = 0, умноженному на Qn. В данном случае мы получаем значение вычета, равное Qn &к<? (0). Отсюда следует, что вычет функции (гх, ср) при X =— л — 2k равен
_Оп**Ч (0)_ Qn(Akb(x), T(jc))
(— 2k — л+2)... (— л) (— 2k)... (— 2) 2kk\ л (л+2)... (л + 2k — 2)'
(5)
а вычет обобщенной функции гх при том же \ равен
QnAkb(x)
2kk\ п (п + 2) ... (л + 2k — 2)
(5')
Сравнивая величину (5) с найденным выше выражением вычета (4), находим, что
S<2*' (0) = (2*)iawA*«p (0) (б)
9 2*й! л (л + 2) ... (л + 2k — 2)
Этот результат дает возможность написать разложение Тейлора для функции S<p (г):
S?(r) = T(0)+-Ls;'(0)r2+ ... + 1_-5<2Л)(0)г2/с-}- ... =
2! ч> 4 ' ' ' *' 1 (2А)1
= р V _^il_ . т
~ 2*А1 л (л + 2) ... („+2А-2)
(формула Пицетти *)).
Для дальнейшего нам удобно нормировать обобщенную функцию гх так же, как это было сделано выше для степеней х на прямой. Для этого разделим гх на
(r\ в"0 = / r^-^-idQdr^-^-r^-^t^). Функция
2г*
s„r(A±i)
*) Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. II, Гостехиздат, 1951, гл. IV, § 3.
102 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
является, очевидно, целой аналитической -функцией X. Значение этой функции в особых точках числителя и знаменателя можно найти как отношение соответствующих вычетов. Таким образом, мы получаем:
выч.
2 Г* x— п-2к
\ J х=--п-2к
2kkl п (п + 2) . .L (п + 2k — 2) _ * 5 (х)
(Qn8<2*> (х), е-**) 4 ' 2kk\n ... (n+2k-2)'
(2А)!
(8)
В частности, при А = 0 получаем:
