Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
со со
( | х Iх, е-**) = У | х |х е~х* dx = 2 j хЧ~хЧх =
—со О
°° Х-1
= ft~e-*dt = T(±+±-). о
Наконец, функция | х ]х sgn х имеет полюсы в точках —2; —4..... и ее вычет в точке ¦—2т равен —2
(2т— 1)! '
Таким образом, функция ср0(х) должна быть выбрана с таким расчетом, чтобы ее нечетные производные при х = 0 были отличными от нуля. Можно принять для этого ср0 (х) = хе-я"; мы получим нормирующий знаменатель
» со
о
80 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
| х | sgn X
(Х+1)' Г(^+1)* г(Л+1)' Г ( Х + 2 )
Значения этих функций в особых точках числителя и знаменателя можно найти как отношение соответствующих вычетов. Таким образом, мы получаем:
Г (Х + 1)
выч. хл
Х= — п
выч. (х\ , е х)
Х=— П
Г (X + 1)
(—1)^-1 5(»-1) (х) („_!)! (— I)""1 (S^-1) (х), в"*) („ _ 1)!
выч. х)_
Х= —п
(>-•); (1)
Л„-П ВЫЧ. (V, й^)
В^-1) (х)
(п —1)! (л—1)!
= (_1)я-1В(я-1) (л:);
(2)
г/Х_+_1< \ 2 ,
ВЫЧ. | X
Х= -2m-1
(2;и
- 5(2-) (х)
Х = —27П-1
-ат-1ч ' (2т)! V W' ;
Результат применения фз^нкционала 5(2"^ (х) к (s~x')l2m)L п. Так как
1 — х2+-
~2Т
— 4-
3! ^
m х2"»
ml
равен
(е-х*-)
т=0
то, очевидно,
a^(2m) j Х-»»
'аг = ° (2/я)!
1а; =0
(— \)т (2т)\ от!
Итак, мы можем построить целые функции от X:
5] § 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
(-1Г 8(2та) (х) ml Х+1\ (2/п)!
Наконец,
\хГ sgn дс
81
(3)
выч. | х | sgn JC
X=-2w»
-2?»
ВЫЧ. ( | X | Sgn Jf, лгг *") X--2wt
S(2OT-1)
(2ти — 1)!
Результат применения функционала o(2wl_1)(x) к х^-35'' равен -(xe^fm-l)l=0. Так как
хе х х 2j з, -г- ••• -t-i. U (/re —1)!
+ ...=
(2rn-l)l
то, очевидно,
Ь-о (2/к — 1)! '
Ухе > 1в-о —^ 1> (ли—1)! '
поэтому
х r sgn х
=(-1)"
№-Ч(х) (m-l)l
(4)
(2ж—1)!
x= — 2m
Формулы (1) — (4) можно было бы получить, и иначе используя известные вычеты гамма-функции в соответствующих точках.
Формула дифференцирования по х для функционала
J+ Г (Х + 1) проще, че,м для функционала Xх ; действительно,
d х d
И у f 4-
ХХ
Х-1
X
Х-!
dx J + dx Г (Х + 1) Г(Х-(-1) Г(Х)
= Д-1; (5)
Таким образом,
6 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
82 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [В
хх
Г (X + 1)
получается следующая формула дифференцирования:
^/х_=-/1-'; (6)
иными словами дифференцирование функционала
хх
Г (X + 1)
равносильно уменьшению индекса X на 1 с изменением знака.
I х \х
Функция —' ;при дифференцировании переходит
I X 1^ SQTtl X
в функцию -—'. , г.. с индексом, на 1 меньшим, и с неко-
г(4-)
торым числовым множителем. При двукратном дифферен-
I х |*
цировании функция —х ' ¦- воспроизводится с индексом,
на две единицы меньшим:
^ г(Х + \\~ 2Л r/x-iv (/)
Формулу
| х _ Id* \х\*
IX—\\~ 2Х dx* г А + 1>
(8)
можно было бы положить в основу аналитического про-
I х Iх
должения функции —' ' „
таким образом, дифференцирование функционала
J + г (к -(-1)
равносильно уменьшению индекса X на 1. Аналогично для функционала
6] § 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ 83
(1)
(Х _ /0)х = lim (х2 -+-у2) 2 ел ars(x+iy) = у+-о
f ?-*Xre I x |x при jc < 0, { xx при x > 0.
(2)
Эти функции определены при любом комплексном X.
Нашей задачей теперь будет сопоставить этим обычным функциям обобщенные. Последние мы также обозначим через (jc —f— /0)х и (х — /0)х.
Используя функции лг+ и хх_, определенные в п. 2, мы при ReX>—1 можем написать:
(* + Ю)х = хх+Н-Л:х_. (3)
(jc — Ю)А = х\ 4- «_iX" *х_. (4)
6. Обобщенные функции (j?-j-*0)x и (х — *0)х. Определим теперь новые обобщенные функции(дг-(-/0)хи(л;.— ДО)Х. В отличие от обобщенных функций х\, х\., |дс|*, | х \*"sgn х, определенных в пп. 2 и 3, эти новые обобщенные функции не будут нуждаться в нормировке: они будут целыми аналитическими функциями от X. Другие преимущества обобщенных функций (x-{-tQ)x и (х— Ю)х выяснятся в главе о преобразованиях Фурье (гл. II).
Как известно, выражение (x-\-iy)x определяется следующим образом:
(х -f - iy)x = ех Ln = ех Пп 1 х+*у\-Ы Arg (&+iy)\t Возьмем здесь
Arg (л: -+- ty) = arg (х -4- iy)
(—тс < argz < тс). Тогда (x-\-ty)x будет однозначной аналитической функцией комплексного переменного z = x~\-iy в верхней полуплоскости у >• 0 и точно так же (x-\-iy)K будет однозначной аналитической функцией в нижней полуплоскости у < 0. Нас будут интересовать предельные значения этих двух функций на вещественной прямой. Их нетрудно сосчитать:
(;с_1_/0)х= lim (xi+yz)*e<k*t*lx+W =
f etX* I х |х при х < 0, { л:х при х > 0;
А
84 гл. i. простейшие свойства обобщённых функций [6
Но отсюда видно, что при любом X Ф—1, —2, ... (обычным) функциям (1) и (2) можно сопоставить обобщенные функции, написанные справа в (3) и (4) (см. п. 2). Тем самым обобщенные функции (x-\-iQ)x и (х — ДО)Х определяются для X Ф —1, —2, . . .
