Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Соотношение (4) доказывает единственность На.
Ь) Построение ка. Для заданного элемента х е б пусть (рп) — последовательность целых чисел, определяемая неравенствами (2). Докажем, что существует действительное у, такое, что при любом п е N выполнено Ип (у) = 10-"рл.
Заменяя в (2) п на п + 1 и сравнивая полученное неравенство с (2), находим, что 10рпа<(1 + Рп+\)а и рп+ \а < 10(1 + рп)а, откуда 10рп < 1 + рп+\ и рп+) < <10(1+рп), что равносильно неравенствам
Юр„<р„+1< Юр„ + 9. (5)
Отсюда вытекает, что для любого п е N целое рп есть «число десятков» рп+\. Полагая уо = Ро и для каждого п е N Уп+1 = Рп+1 — Юрп, получаем 0 ^ < Уп+1 ^ 9 и по индукции
(уп г М) 10~>„ = г/о, у1 ... уп.
Осталось доказать, что БДД уа, У\ Уп ... не принадлежит <?>9. Но в противном случае существовало бы такое целое т., что при каждом п> т было бы уп = 9. Тогда мы имели бы
Ю~прп- 10->т = 0, 0^. Л) 9—_9= 10~т- 10~",
т раз (п—т) раз
откуда
(ул>ю) ю_п(1 + рп) = ю-т(1 + рт).
6. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ
25
Положим Ь = {1+рт)а—10тх; применяя (2) к значению т, получим Ь > Оо, а также при п^т
Ю"-т6 = (1 + рп)а — 10"л<а.
В силу произвольности целого п—т двойное неравенство
(Vп>т) 0о<10 "~т6<а
противоречит аксиоме Архимеда, которая справедлива для (?.
Таким образом, у = у0, У\ • • • уп • • • есть действительное число, для которого (упеМ) 0„(у)= тем самым у = вир 10~”р„, и мы определим отобра-
« е N
жение Л„ из О в К, полагая
АЛ*)=-8ир 10->„. (6)
«ем
Неравенство (5) показывает, что последовательность 10~прп возрастает1).
с) Свойства ка. Пусть х, у — два элемента <7, (рп)— последовательность целых чисел, определяемая неравенствами (2). Неравенства
Япа < 10пу <(1+дп)а, гпа < 10" (х + у) < (1 + гп) а определят последовательности целых (Яп), (?п). Имеем г „а < (1 + рп)а + (1 + <7„)а, (1 + гп)а > рпа + цпа,
откуда
гп < 2 + Рп + Яп, 1 +гп>рп + Яп,
что равносильно
Рп + Яп < гп < 1 + рп + (7)
По определению ка, применяя предложение 4.2, получаем
10~”г„ <ка(х + у)< 10~" (г„ + 1),
10-" (Рп + Яп) < К (х) + К (у) < 10"" (гп + 2),
О Автор различает возрастание (неубывание) и строгое возрастание. — Прим. перев.
26
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
откуда, сравнивая с (7), найдем, что
Ю-п (г„ - 1)< ha (х) + К {у) < 10-" (г „ + 2).
Это показывает, что для любого п s N действительные числа ha (х + у) и ha (х) + ha (у) допускают одинаковые десятичные приближения с точностью до 2-10-я.
Таким образом, выполнено равенство
(V (*, у) s G2) К (х + у) = ha (х) + ha (у),
показывающее, что ha есть групповой гомоморфизм; для доказательства того, что ha строго возрастает, достаточно показать, что из х > 0<? вытекает Ля(х)> >0.
Действительно, пусть X > 0о и (рп) по-прежнему обозначает последовательность целых, удовлетворяющих неравенствам (2). Тогда существует хотя бы одно целое п > 0, такое, что рп ^ 1 : в противном случае было бы 10пх < а для всех neN, что противоречило бы аксиоме Архимеда. Но при рп ^ 1 имеем ha (*) ^ 10-" и, значит, ha (х) > 0.
Теорема 5.2 полностью доказана. ?
? Следствие. Пусть G — архимедова группа. Для каждого ненулевого элемента аеб существует единственный монотонный гомоморфизм ha группы G в R, такой, что ha(a)= 1. Этот гомоморфизм является строго возрастающим при а > 0о и строго убывающим при а < 0о. Следовательно, ha инъективен.
Случай а > 0о рассмотрен выше, случай а> 0а получается из него путем замены порядка на G на противоположный. ?
Теперь пришло время доказать
^ Предложение 5.3. Группа R и ее подгруппы архимедовы.
В самом деле, пусть а, b — действительные числа, причем а > 0. Положим а = а0, а\ ... ап ... и Ь — — Ьц, Ь\ ... Ьп ... ; найдется хотя бы одно п, такое, что ап ^ 1. Тогда 10яа ^ 1, откуда 11 + Ь0\ 10"а > Ъ.
5. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ
27
Следовательно, Р архимедова, равно как и ее подгруппы; действительно, если а принадлежит подгруппе С группы К, то ей принадлежит и па при каждом
я е N. ?
Теперь мы можем сформулировать
Предложение 5.4. Архимедовы группы суть упорядоченные абелевы группы, изоморфные подгруппам
(к,+).
Случай группы, состоящей из одного нейтрального элемента (нуля), не вызывает затруднений. Примеры подгрупп Р имеются в упражнениях.
Приложение к теории измерения величин
Вернемся к вопросу об измерении величин, поднятому в § 1, и попытаемся сначала аксиоматизировать понятие «измеримой величины».
Каждая измеримая физическая величина (масса, длина, объем, давление и т. д.) представляется как линейно упорядоченное множество й, снабженное законом сложения, таким, что
(I) сложение коммутативно и ассоциативно,
(и) в 6 существует наименьший элемент Ос, являющийся нейтральным элементом для сложения,
(ш) для любого элемента ,г неравенства и
х + г ^ у + г равносильны.
Множество С, снабженное такой структурой, называется упорядоченной абелевой полугруппой; с помощью процесса «симметризации» (см. [Ь?2] или [ВО 1 ]), который сводится к «ориентации» рассматриваемой величины и присоединения элементов, называемых «отрицательными», можно получить упорядоченную абелеву группу.
Обычно предполагается (хотя зачастую неявно), что полученная таким путем группа О архимедова: при выборе единицы измерения и > Ос определенный в теореме 5.2 гомоморфизм ки решает задачу измерения величии. Отметим, что вся его роль заключается в том, чтобы придать строгую форму построению
