Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Ошибка, допускаемая при замене g на рфу таким образом, меньше единицы и; для получения лучших приближенных значений для меры g берут все меньшие и меньшие «единицы».
Применяя десятичную систему счисления, единицу каждый раз делят на 10; при этом ип = 10~пи называется десятичной единицей п-го порядка. При этой новой единице измерения приближенной мерой g (по недостатку) служит единственное целое число рп, удовлетворяющее неравенствам
Рп“п<ё <(1 +Рп)“п>
*) Напомним, что свойство некоторого объекта называется характеристическим, если он является единственным объектом с этим свойством.
1. БЕСКОНЕЧНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
И
или, что то же самое,
10-прпи^§<10-п(1+рп)и.
Десятичная дробь = 10-ярп называется прибли-
женной десятичной мерой ? порядка п.
Можно отметить (доказательство дается дальше), что переход от дроби Оп к дроби Оп+\ сводится к добавлению к Оп одного нового десятичного знака. Все десятичные дроби Оп имеют, таким образом, одну и ту же целую часть О0 = /?о, и существует бесконечная последовательность (<Лп)п>1 целых чисел, принимающих значения от 0 до 9, таких, что для любого п ^ 1
Оп = /)0 + 0, (Iхй2 ... йп = /)0 + Ю кйк'
Для удобства мы примем следующее соглашение (используемое в таблицах логарифмов):
Обозначения. Для любой системы *) (й0, с1ь ..., йп) целых чисел, такой, что <20 ^ Z и при всех
к^ 1, символ ^1^2 • • • представляет десятичную дробь
п
й0 + 0, йхй2 ... с1п = йо+2 Ю кс1к.
к = \
Очевидно, что каждая десятичная дробь может быть записана в таком виде и притом единственным образом, если наложить условие (с1пф0 либо п= 0). Однако следует быть начеку при записи противоположного числа: например, противоположным к 2,34 будет (—3), 66.
Теперь мы готовы дать
^ 2) Определение 1.1. Бесконечной десятичной дробью (сокращенно БДД) называется последовательность (хп)П€=и относительных целых чисел, удовлетворяющих условиям 0 ^ хп ^ 9 при 1; такая последовательность записывается в виде х = х0, хх ... хп ... .
*) Слово «система» употреблена в смысле «конечная последовательность».
2) Этим символом помечены наиболее важные формулировки. — Прим. перев.
12
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Целое хп называется десятичным знаком х п-го порядка и обозначается йп{х)\ десятичная дробь х0> Х\ ... хп обозначается Оп(х)\ относительное целое число х0 называется целой частью х.
Например, (—2), 0...0... и (—2), 9...9... суть БДД с целой частью —2.
Множество всех БДД будем обозначать 3>\ мы положим его в основу построения поля действительных чисел. Понятно, что аналогичное построение можно было бы осуществить в системе счисления с любым основанием.
2. ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ ПОРЯДОК НА 2>
Для равенства двух БДД х и у, по самому определению, необходимо и достаточно, чтобы йп(х) = йп(у) при всех пеМ. Если уфх, то множество целых пе еМ, таких, что с1п(х) Ф йп(у), следовательно, не пусто; значит, в нем найдется наименьший элемент1), для которого имеет место одно из двух неравенств: дп(х) > йп(у)> дп(у) > йп{х).
? Предложение 2.1. Полагая у ^ х, если у = х или если для наименьшего целого п, такого, что йп(х)ф фйп{у)> выполняется с[п(у) > йп{х)у мы устанавливаем на 3) отношение линейного порядка.
Доказательство. Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и антисимметрично. Для доказательства его транзитивности достаточно рассмотреть три БДД х, у, г, для которых у > х и г > у. Обозначая через т (соотв. п) наименьшее целое, такое, что йт(у)ф дт(х) (соотв. с1п(г) Ф йп(у)), положим р — — \пЦт, п). По предположению, для всех & < р имеем йк{х)=йк(у)=йк(г)\ смотря по тому, будет ли р = т или р = пу окажется верным одно из неравенств йр(у) > др(х) или йр{г) > с1р(у). В обоих случаях с[р(г) > йр(х) и, значит, г > х.
Наконец, замечание, сделанное перед предложе-
*) Мы пользуемся тем фактом, что любая непустая часть N содержит наименьший элемент, т. е. N — «вполне упорядоченное» множество. Далее используется и то, что любая мажорируемая часть N или 2 содержит наибольший элемент.
2. ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ ПОРЯДОК НА 0) 13
нием 2.1, показывает, что любые две БДД ху у сравнимы, и, следовательно, заданный порядок является линейным. ?
Определенное таким образом отношение порядка на Ф сходно с тем, которое применяется при расположении слов в словарях: слова рассматриваются как конечные последовательности букв в алфавите, упорядоченном от А до 1. По этой причине порядок, установленный на называется лексикографическим. Заметим, что понятие лексикографического порядка распространяется на любое множество последовательностей, элементы которых принадлежат линейно упорядоченному множеству.
Из этого определения немедленно вытекает
^ Предложение 2.2. Если х — БДД, для которой
(У/г<=М) 0<*<10Л
то х есть нулевая БДД (образованная последовательностью нулей).
Доказательство. В силу определения упорядоченности все десятичные знаки х равны нулю. ?
^ Заметим, что неравенство у^х равносильно неравенству
Оп{у)>ОЛх).
Каноническое вложение / множества 0 в 2)
Обозначим через 0 множество относительных десятичных дробей и используем условие, согласно которому всякой десятичной Дроби (1 = йо, (1\ ... йп можно поставить в соответствие БДД й0> ... с1п0 ...
