Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Но, желая иметь более широкую картину и подготовиться к аксиоматическому изложению аффинной геометрии, следует изучить произвольные векторные пространства над телами, необязательно коммутативными. По этой причине мы начнем с напоминания некоторых сведений из алгебры.
I. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ТЕЛА
Напомним, что тело К называется коммутативным или некоммутативным ]) в зависимости от того, коммутативна ли в нем операция умножения.
Если (/С, +, X) — некоммутативное тело, то на том же множестве К можно определить другую структуру тела (/С, +> *), сохранив операцию сложения и введя новую операцию умножения х*у по правилу х * у = уУ^х. Это новое тело мы обозначаем через к и называем телом, противоположным телу /С.
Определение 1.1. Центром тела К называется множество 1К его элементов, коммутирующих со всеми элементами из /С, т. е. 1К = {х е К I (У/а е К) ах = ха}.
]) Автор в примечании дает соответствующие английские термины field и division ring. В литературе на русском языке приняты термины «поле» и «тело», которых мы и будем придерживаться, — Прим. перев.
42 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
'. - — — ———-------------------------------—-----
Легко видеть, что центр К есть коммутативное подтело К (поле), содержащее все элементы вида п-1*, где Z. Если К имеет характеристику нуль, то эти элементы при пф 0 обратимы; элементы вида
р(п-1*)“1, обозначаемые как 1 к, где (р,
X М*, образуют коммутативное подтело тела /(, содержащееся в его центре и изоморфное полю С рациональных чисел.
Пример некоммутативного тела: тело кватернионов
Считая известной структуру векторного пространства Р4, обозначим через во = (1, 0, 0, 0), е\ = (0, 1, 0, 0), е2 = (0, 0, 1, 0), ?3 = (0, 0, 0, 1) векторы его канонического базиса. Легко видеть, что можно ввести в К4 операцию умножения, ассоциативную и дистрибутивную относительно сложения векторов и такую, что
== 1 === == ^ ==:: ^
&1&2 ~ &2&1 == е2&3 = ^3^2 ^ ^1» (1)
е3в1 = — ~ В2»
Тогда во будет нейтральным элементом для этой операции умножения, и можно проверить, что любой ненулевой элемент
3 3
Я = ? <7,е< = Яое0 + Е 1=0 * = 1
допускает в качестве обратного элемент
Таким образом, множество Р4, снабженное этой структурой, является телом, которое называется те-лом кватернионов и обозначается Щ (по начальной букве фамилии английского математика Гамильтона, открывшего кватернионы). Таблица умножения (1) показывает, что это тело некоммутативно и что его центр состоит из элементов вида (л;, 0, 0, 0), где х е К? эти элементы образуют подтело Н> изоморфное К (см.
Т. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ТЕЛА
43
ниже). Заметим, наконец, что тело Н имеет характеристику нуль.
Заменяя Р полем комплексных чисел С', получим таким же путем алгебру комплексных кватернионов, не являющуюся телом.
Изоморфизмы, автоморфизмы и антиавтоморфизмы
Напомним (см. § 1.8), что изоморфизмом тела К на тело К' называется биекция А: К-+К', удовлетворяющая условиям
(У(Х ,у)^к2) Цх + у) = Цх) + Цу),
/г (ху) = /г (х) к (у),
из которых можно также получить, что
М0/с) = 0к', Ь'(\к)=\к' и (V* ^ К)
А(^-1) = [Л(х)]-1.
Примеры. 1) Если К — тело характеристики нуль, то отображение /: , гь->г • \кестъ инъективный
гомоморфизм и, значит, изоморфизм С на его образ,
2) Отображение Їч-*Н, хь-~>(ху О, 0, 0) есть инъективный гомоморфизм К на центр тела Н *)•
В случае некоммутативных тел вводится новое по-» нятие.
Определение 1.2. Антиизоморфизмом тела К на тело К' называется биекция А: К->К\ для которой
(V{х, у) <= к2) Ь(х + у) = Н(х) + И.(у) и
Л (ху) = Ь (у) її (х),
откуда снова вытекает, что
М^к) —Л (1/с) = 1#с' и (ух^К)
Н(х-1) = [Н(х)Г\
Автоморфизмом (антиавтоморфизмом) тела К называется его изоморфизм (антиизоморфизм) на себя.
*) Точнее говорить об инъективном гомоморфизме К в ІН и тем самым изоморфизме 13 на — Прим. перев.
44 ГЛ II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТ РАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Примеры. 1) Если С — поле комплексных чисел, то отображение сопряжения X + Ц ^ х — и/ является автоморфизмом С (автоморфизм сопряжения).
2) Если Н—тело кватернионов, то отображение
з з
Л: Яйей + ? я1е1 н-* я0е0 — ? я1е1
г =* 1 1 = 1
есть антиавтоморфизм тела Н-
3) Если К — некоммутативное тело, то внутренние автоморфизмы На: х»—>аха~{, где а е К*, являются автоморфизмами К; если К— тело, противоположное /С, то тождественное отображение Ык является антиизоморфизмом К на К.
4) Поле /C = Z/pZ (обозначаемое также Zp), где р — простое число, не допускает других автоморфизмов, кроме тождественного; действительно, любой элемент К имеет вид п-1#, где /геМ, и, значит, сохраняется при любом автоморфизме поля К.
Задача перечисления автоморфизмов тела
Как мы увидим далее (§ III. 8 и IV. 12), изучение аффинной или проективной геометрии приводит к задаче определения всех автоморфизмов основного тела. Приведенный выше пример 4 и теорема 1.8.4 решают эту задачу для полей Хр и К: эти поля не допускают автоморфизмов, отличных от тождественного.
Более глубокое изучение алгебраических свойств тела кватернионов позволяет доказать, что единствен* ными автоморфизмами этого тела являются внутренние автоморфизмы кц\ Н Н, х уху~х (^ е Н*) (см. [ВЕ], т. 2, § 8.9).
