Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Десятичные приближения действительного числа
^ Определение 3.2. Если х = Хо, Х\ ... хп ... — действительное число, то десятичная дробь Оп(х)=Хо, х\ ... хп называется десятичным приближением порядка п числа х.
Предложение 3.3. Оп(х) есть единственная десятичная дробь вида К)-"/?, где ре/, удовлетворяющая неравенствам
йп(х)^х<йп(х)+10-п. (2)
Доказательство. Левое неравенство очевидно; правое вытекает из того, что йп(х) + 10-" равно Хо + 1, если Х\ = Х2 = . . . = Хп = 9, И Хо, Х\ . . . (Хр + 1) в остальных случаях, где р — наибольшее целое ^ пу такое, что хр Ф 9.
Можно также воспользоваться тем фактом, что несобственное разложение десятичной дроби ДДх) + + 10-" есть Хо, Х\ ... х*9 ... 9 ... .
С другой стороны, если бы для двух целых р, р' выполнялись условия
10"яр<х< 10 ~яр + 10“" и 10"У <х< Ю’У + 10"“, то из них вытекало бы, что
р < 1 + р' и р' < 1 + р, откуда р' = р. ?
? Определение 3.3. Пусть й и е — две десятичные дроби. Говорят, что й является десятичным приближением действительного числа х с точностью до е, если й— г^х^й + е1).
Из вышеизложенного видно, что 0„(Х) есть приближенное значение х с точностью до 10-"; очевидно, что это приближение не единственное.
Следующее предложение позволяет устанавливать равенство действительных чисел без знания соответствующих БДД.
^ Предложение 3.4. Для того чтобы два действительных числа х, у были равны, необходимо и доста-
!) У автора точнее: «с точностью не менее чем до е», — Прим. перев.
18
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
точно, чтобы при каждом neN они допускали одинаковое десятичное приближение с точностью до 10~п.
Доказательство. Необходимость условия следует из того, чторавенство у = х равносильно^/« eN)b„(jt)= = 0П(У).
Для доказательства достаточности рассмотрим действительные числа х, у, которым можно сопоставить последовательность (d„) десятичных дробей, удовлетворяющих условиям
(V« gN)4 — 10"" < * < dn + 10"", dn- 10"".
Тогда для любой пары целых чисел (р, q) е N2 имеем
dp- 10"р <*<?,(*)+КГ" и #<d„+10"p, откуда
(VpeN) D,(y)<Z)ff(A:)+10-9+2.10-p, что влечет за собой
Da (у) - Da (х) — Ю~ч < in! 2 • 10~р = 0.
peN
Положим х — х0, Xi ... хп ...; поскольку х ф. 3)9, для каждого neN найдется целое q> п, такое, что Xq ф 9, И поэтому
Dn {у) < Dq (у) < Dq (х) + 10"9= Х0, ХХ . . . Хп . . . (Xq+ 1).
Следовательно, при всех ne N
Dn{y)<xо, хх ... xn = Dn(x)
и у ^ х. Меняя ролями х и у, найдем также, что х ^ ^ у, и, значит, у = х. ?
В завершение этого параграфа установим ^ Предложение 3.5. Множество R несчетно.
Рассуждая от противного, предположим, что все действительные числа можно расположить в виде последовательности (xa)asN; пусть ха,п при каждом «<=
4. СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА 19
е N обозначает л-й десятичный знак ха. Для каждого п можно выбрать уп отличным от хп< п и лежащим между 0 и 8 при /г^1. Тогда БДД у = Уо, ух ... уп ? ? ? есть действительное число, не принадлежащее последовательности (ха), что противоречит допущению. ?
4. СЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА
Пусть X = Хо, Х\ ... Хп... И у = Уо, У\ ... Уп ... — два произвольных действительных числа. При каждом neN имеем
Dn(x)^x<x о+1, Dn(yXy<yo + 1.
Множество десятичных дробей вида Dn(x) + Dn(y) мажорируется, таким образом, числом х0 + уо + 2 и имеет в R верхнюю грань; это позволяет нам дать следующее
^ Определение 4.1. Суммой двух действительных чисел х, у называется действительное число, обозначаемое х + у и определяемое как1)
х + у = sup (Dn (х) + Dn (у)). (1)
n€N
Это определение оправдано тем, что в случае, когда х и у — десятичные дроби, данное определение дает их обычную сумму; действительно, в этом случае возрастающие последовательности Dn(x) и Dn(y) стационарны2), и при достаточно больших п имеем Dn(x) — = х, Dn(y) = у.
Свойства сложения
^ Предложение 4.1. Сложение действительных чисел коммутативно и для любых х, у, г, таких, что х у, имеем
* + Z < у + г. (2)
1) Если бы мы определили топологию на R, то могли бы также ввести сумму равенством х + у = lim (Dn (х) + Dn (у)).
rt-> -f оо
2) Напомним, что последовательность называется стационарной, если найдется целое р, такое, что хп = хр при любом п ^ р.
20
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Доказательство. Коммутативность сложения действительных чисел следует непосредственно из определения 4.1 и коммутативности сложения десятичных дробей.
С другой стороны, неравенство х <; у влечет за собой Dn(x) ^ Dn(y) для всех /ieN, поэтому для каждого действительного г
Dn (х) + Dn (z) < Dn (у) + Dn (z) < у + г.
Отсюда получаем (2), взяв верхнюю грань левой части последних неравенств. ?
Предложение 4.2. Для любых действительных х, у при каждом ne N выполняются неравенства
Dn (.х) + Dn (у) <Dn (х + #)<х + у <
</>„(*)+ />„(?) +2 •КГ".
Доказательство. По определению, Dn(x) + Dn(y) принадлежит множеству десятичных дробей вида 10-"/?, где peZ, таких, что 10+ при этом предложение 3.3 показывает, что Dn(x4~y) есть наибольший элемент этого множества. Таким образом, Dn(*) + Dn(у) ^Dn(x + y)^x + y. Далее, двукратное применение предложений 3.3 и 4.1 показывает, что х + у < Dn (х) + Dn{y) + 2- КГЯ. ?
