Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
В тех же обозначениях из предложений 5.1, 5.2 следует, что вектор А'В'= р (А) р (В) зависит только
от вектора АВ, направления б проектирования р и направления й прямой 2?)\ мы будем обозначать его
я^(ЛВ). Таким путем получаем отображение я$ из 3> на подгруппу (й, +), состоящую из векторов направления й (см. конец § 4). Более того, если и = АВ и д = ЛС —два произвольных вектора, то
я® (о - и) = я® (ВС) = р (В)р (С) =
= р(А)р (С) — р (А) р (В) = я« (д) — я« (и). Итак, можно сформулировать
Предложение 5.3. Для любой пары (й, 6) различных направлений прямых существует гомоморфизм пьй
—^
из ЇР на группу (Л, +) векторов направления й, такой,
что для любой прямой направления сі и любой
>- д
пары (Л, В)^$Р2 выполнено рь3 (Л) р% (В) = па {АВ).
Мы называем проектированием на й в направлении б. Ядром этого гомоморфизма является, очевидно, подгруппа (б, +)> состоящая из векторов направления б. Отсюда вытекает
^ Теорема 5.4. Пусть й, й', б — три направления различных прямых. Тогда ограничение на (А', +) есть изоморфизм (сі', +) на (й, +).
Теорема 5.4 представляет собой «малую теорему Фалеса», которой при обучении придается наглядность с помощью такого ее следствия:
188 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Следствие. Пусть Ф, Ф' — две произвольные прямые плоскости трансляций 3, б — направление, отличное от направлений прямых Ф, Ф\ и р— ограничение на Ф проектирования в направлении б плоскости 3 на прямую ФЕсли Ль Ап — последовательность точек Ф, таких, что
А1А2-^А2А3— ... = Ап_{Ап, то их проекции Л? = р(Л,) удовлетворяют равенствам
•••
Коротко говорят, что проекция правильного подразделения Ф есть правильное подразделение Ф\
Из этих результатов мы выведем одно примечательное свойство группы векторов плоскости 3.
^ Предложение 5.5. Пусть & — плоскость трансля-—^
ций, (3, +) — группа ее векторов и п^ 2 — целое число.
a) Если существует вектор а Ф 0, такой, что
—^
па = 0, то пи = 0 для всякого и^З.
b) Если существует вектор а, такой, что па Ф О, то для каждого вектора и найдется единственный вектор vf такой, что nv = и.
Доказательство. Мы можем считать, что и ф 0.
a) Предположим, что па = 0 для некоторого а Ф 0. Пусть и — вектор, неколлинеарный а\ если d — направление и и б — направление а — w, то nbd (а) = и (рис. 14), и по предложению 5.3 имеем п^(па) = — пи = 0.
Если па = 0, а ф 0 и и коллинеарен а, то мы можем применить предыдущий результат к ненулевому вектору 6, неколлинеарному а. Тогда nb = 0, откуда (в силу неколлинеарности и и Ь) пи = 0.
b) Если па ф 0, то а) показывает, что nb ф 0 для любого b ф 0.
При заданном векторе и ф 0 мы можем выбрать Ъ ф 0, неколлинеарный и. Если d и б обозначают соответственно направления и и nb — и, то вектор
5. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФАЛЕСА В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ 189
с; = л;^(6) (рис. 15) удовлетворяет равенству т = — пба (пЬ) = и.
Наконец, если V, с'— два вектора, для которых П1) = пи'= и, то п (</— и) = 0 и, значит, ю' = V. ?
Следствие. Пусть р—наименьшее целое ^1, для которого можно указать вектор а ф О, такой, что ра = 0 (если такое р существует); если такого р нет, то положим р = 0 (в обоих случаях р назовем характеристикой Ф).
a) Если р ф 0, то р — простое число.
b) В любом случае, если целое ti^ 1 не является
?>
кратным р и иє^1 — произвольный вектор, то существует вектор v, такой, что nv = и.
Доказательство, а) Если р ф 0 и не является простым, то можно положить р = тп, где 1 < т<. р и 1 < п < р. Тогда при па ф 0 (а ф 0) соотношение т{па) = тпа = 0 противоречит определению р.
Ь) Если р ф 0 и целое л ^ 1 не является кратным р, то, разделив п на р, получим п = pq -f- г, где 0 < < г < р и, следовательно, па = га ф 0, что позволяет применить предложение 5.5. При р = 0 результат получается немедленно. ?
Отсюда вытекает, что 3 допускает структуру векторного пространства над Q, если р ф 0, и структуру векторного пространства над Zp, если р Ф 0.
Эти результаты показывают, что аддитивная группа 3 не является произвольной. Более глубокое исследование показывает, что на каждой подгруппе (d, +)
190
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
можно определить закон умножения, дистрибутивный справа, который превращает ее в «почти-тело» *) (см., например, [Р1] или [БТ]). Лишь аксиома Де-зарга (см. § 6) позволит нам определить на каждой
подгруппе (й, +) структуру тела, а на ^ структуру векторного пространства.
6. ДЕЗАРГОВА ПЛОСКОСТЬ
Определение 6.1. Плоскость аффинного типа называется дезарговой, если выполняется следующая аксиома:
? (О) (Большая аффинная аксиома Дезарга.) Пусть (ЛВС) и (А'В'С') — два таких треугольника, что прямые (АА'), (ВВ') и (СС') различны и пересекаются в одной точке; тогда соотношения (А'В') || (АВ) и (Л'С')Ц(ЛС) влекут (В'С) || (ВС).
Мы покажем, что всякая дезаргова плоскость является плоскостью трансляций. Для этого нужно доказать, что из аксиомы (П) следует аксиома (6) из теоремы 3.1. Предварительно покажем, что из аксиомы (О) вытекает обратное утверждение, а именно
Предложение 6.1. Пусть (АВС) и (А'В'С') — два треугольника дезарговой плоскости, такие, что прямые (АА'), (ВВ') и (СС') различны и удовлетворяют условиям (А'В')\\(АВ), (А'С')\\(АС) и (В'С')II (ВС). Тогда прямые (АА'), (ВВ') и (СС') пересекаются в одной точке или параллельны.
