Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Обозначив через подполе в Р, образованное абсциссами точек какой-либо пунктированной прямой, мы сможем установить
Предложение 10.3. Если ^ — упорядоченная архимедова плоскость трансляций, то аддитивная груп-
10. АФФИННАЯ СТРУКТУРА АРХИМЕДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 209
па ее векторов допускает структуру векторного пространства размерности 2 над полем К&.
Доказательство, а) Поскольку сложение векторов уже определено и изучено (см. § 4), мы определим
произведение Хи ненулевого вектора и = ОА на элемент Я из К* как такой вектор ОВ, что точки О, Л, В коллинеарны и 6о(В) = Х. Используя свойства проектирований, легко показать, что это определение не зависит от выбора точки О (если поместить новое
начало в точку О', то точки Л, В подвергнутся трансляции на вектор 00', см. рис. 24).
Положим Я- 0 — 0 для всех X^Kg.
Ь) Фиксируем вектор и —О А и покажем, что для любых (Я, р) е Kg X Kg выполняется
(Я + и) и = Ям + рм (2) и р (Ям) — (рЯ) м. (3)
Можно считать, что ифО; при м = ОЛ обозначим через 2D прямую (ОЛ) и пусть точки В, С, D прямой 2D таковы, что
О В=== Ям, ОС = рм, OD = Ям -j- рм = ОВ ОС.
Поскольку 0о есть гомоморфизм пунктированной прямой 2D0 в (R, +), то 0о (D) = 0о (В) + 0$ (С) = Я + Ц, откуда OD = (Я + р) и, т. е. выполнено (2).
Чтобы установить (3), мы можем положить Я Ф О и, значит, В Ф 0. По одному замечанию, уже сделанному при доказательстве предложения 10.1, теперь
210 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
для любой ТОЧКИ М прямой 3) имеем 00 (М) =
= 0о (В) 0о (М) = Я0о (М), откуда, если ОМ=-\хдв,
получаем 0о (М) = к\х = \хк и ОМ = р (ЯО Л) = (рЯ) ОЛ; это и есть требуемое равенство (3).
с) Фиксируем элемент к е и покажем, что для любых векторов и, и имеет место + V) = ки + ки. Можно считать векторы и, и ненулевыми; будем различать два случая.
Первый случай. Векторы и, и коллинеарны. Тогда можно положить V = /ш, где & е /С*. Применяя (2) и (3), получим
ки + кс = ки + ХЫ — (к + Я/г) и = Я [(1 + к) и] —
== к(и~\~ ки) = к(и-\- и).
Второй случай. Векторы и, и не коллинеарны
Положив и = ОЛ, ю = ОВу и + V = ОС и аналогично
ки~ ОА\ кс=ОВ\ А, (м + и) = ОС', по теореме 9.6 получим (Л'С')Ц(ЛС) и (А'С')Н(5С) (см. рис. 25). Поскольку {О АС В) — параллелограмм, то и (О А С' В')—
параллелограмм, откуда ОС' = ОЛ' + ОВ', т. е. к (и == ки -Г* ки,
б) Наконец, легко видеть, что при ненулевых и неколлинеарных векторах иу V любой вектор хю единственным образом разлагается как т = ки + ри, где
—^
к, р принадлежат /О. Итак, (<?, +) в самом деле есть векторное пространство размерности 2 над полем К? при определенном нами внешнем законе умножения. ?
Отсюда выводится
^ Теорема 10.4. Каждая упорядоченная архимедова плоскость трансляций есть аффинная плоскость над подполем /О поля К.
->?
Доказательство. В силу результатов § 4, (^, +) действует просто транзитивно на & трансляциями; отсюда следует существование аффинной структуры размерности 2 на С другой стороны, каждая «пря-
11. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
211
мая» 3) в 3 есть множество точек М, таких, что
ОМ = ЛОЛ, где (О, Л) — фиксированный репер 3) и X пробегает /О: это получается из самого определения
вектора 10А, Таким образом, «прямые» в 3 — это прямые аффинной структуры на 3. ?
Отметим, что этот результат получен без предположения!, что плоскость трансляций 3 удовлетворяет большой аксиоме Дезарга или аксиоме Паппа: здесь это следствие аксиом порядка и аксиомы Архимеда (см. § 9).
? Отметим также, что любая аффинная плоскость над каким-либо подполем 13 удовлетворяет этим аксиомам: поле К&> остается неопределенным подполем 13, пока на плоскость 3 не накладываются дополнительные требования.
Теорема 10.4 составляет основу элементарной геометрии. В гл. VI мы изучим дополнительные аксиомы-позволяющие построить евклидову геометрию.
И. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ: ИСТОЛКОВАНИЕ АКСИОМЫ ДЕЗАРГА С ПОМОЩЬЮ ВЛОЖЕНИЯ
Обобщая определение 1.1, введем
? Определение 11.1. Пространством проективного типа называется пара (?, 3), состоящая из
a) множества ?, называемого пространством, элементы которого именуются точками;
b) множества 3 подмножеств Е, называемых прямыми и удовлетворяющих следующим аксиомам:
Е1 Через любые две различные точки Е проходит
дна и только одна прямая.
Е2 Если Л, В, С, О — четыре различные точки Е,
такие, что прямые (АВ) и (СИ) пересекаются, то пересекаются и прямые (ЛС), (ВО).
Е3 Каждая прямая содержит по меньшей мере три
точки.
212
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Это определение очевидным образом охватывает плоскости проективного типа, пустое множество и множества, сводящиеся к точке или к «прямой».
Несмотря на слабость сформулированных аксиом1), мы увидим, что, за исключением особых случаев, которые будут перечислены, всякое пространство проективного типа удовлетворяет аксиоме Де-зарга и допускает проективную структуру над подходящим телом. С этой целью начнем с аксиоматического исследования подпространств пространства проективного типа.
Определение 11.2. Пусть Е — пространство проективного типа. Подмножество X с~ Е называется подпространством Еу если для любой пары (Л, В) точек Ху такой, что А Ф Ву прямая (АВ) содержится в X.
