Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 12.2. Если /: Р (В) —> Р (В) — колли-неация, то прообраз /_1(В) проективного подпространства В пространства Р(В) является проективным подпространством в Р(?).
Доказательство. Пусть Л, В — две точки из /г~1 (В) и С — точка на прямой (АВ). Так как / — коллинеа-ция, точка /(С) лежит на прямой (/(Л)/(В)) и, значит, содержится в В. Отсюда вытекает, что прямая (АВ) принадлежит /-1(В), что и доказывает утверждение. ?
Предложение 12.3. Пусть Р(?), Р(В) — два проективных пространства одной и той же конечной размерности п и /: Р (?)->- Р (В)— коллинеация. Тогда образ каждой проективной прямой из Р(?) при отображения / есть проективная прямая в Р(В).
Доказательство. Пусть Л—прямая в Р(?). Так как f—коллинеация, то образ А содержится в некоторой прямой А' пространства Р (В) (прямой, соединяющей
*) Часто дают и другое определение коллинеации, но эквивалентное ему в случае конечной размерности (см. предложение 12.7).
166 гл. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
образы двух точек А). Остается доказать, что /(Д) = = А'.
Обозначим через q каноническую проекцию F* на Р (F). В векторном пространстве F легко построить строго возрастающую последовательность (Ах, Хп) векторных подпространств F, таких, что dimJft—-=6+1 при 6=1, 2, ..., п, первый член которой Хх — плоскость, индуцирующая прямую А'; пусть Ах = q~l (A') U {0} (действуем далее по индукции, выбирая ak^F\Xk и полагая ХА+1 == = Vect(Xh U (я*})Ь Имеем, очевидно, Xn — F.
Эта последовательность (Ax Хп) индуцирует
строго возрастающую последовательность (AJ, А', ... ..., А') проективных подпространств- P(F), такую, что д(=д', A;=P(F).
Так как f биективно и в силу предложения 12.2
множества Ak — f~l(Ak) (6 = 1,2 rt) образуют
строго возрастающую последовательность проективных подпространств в Р(?), такую, что ДсД] (поскольку f (А) сг Д()) и Дп = Р (?).
Размерности этих подпространств удовлетворяют, следовательно, неравенствам
dim A^dim Дх < dim Д2 < ... < dim Ап = п
(так как два различных проективных подпространства, содержащиеся одно в другом, не могут быть одинаковой размерности).
Из этих неравенств следует условие dim Дх 1 и, значит, Ах = А и А' = f (Ах) = /(А). ?
Замечание. Предложение 12.3 не имеет места без предположения о том, что f — биекция. Пусть, например, / — вложение Р"(Р) в Р"(С), которое в однородных координатах точке (хь ..., х„+1) е Р” (R) ставит в соответствие точку с теми же координатами
(хх xB+i) g Р" (С). Тогда / преобразует колли-
неарные точки в коллинеарные, но образ прямой в P"(R) не есть прямая в Р”(С) и отображение не полулинейно.
Предложение 12.4. Пусть Р(?), P(.F) — два произвольных проективных пространства и /: Р (?)-»-
12. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 167
~>Р(/7) — такая биекция, что образ любой прямой из Р (Е) есть прямая в Р (F). Тогда прообраз гиперплоскости в Р (F) есть гиперплоскость в Р(?).
Доказательство. Пусть Н — гиперплоскость в Р (F) ; по предложению 12.2, /_1(^0 есть проективное подпространство в Р(?), очевидно отличное от Р(?). С другой стороны, если А — прямая в Р(?), то /(А) будет прямой в Р(В), пересекающей Н по меньшей мере в одной точке; следовательно, А пересечет f~l(H) по меньшей мере в одной точке.
Если V — векторное подпространство в В, индуцирующее f~l(H), то пересечение V с любым двумерным векторным подпространством в Е имеет размерность ^1, а поскольку УФЕ, то V оказывается гиперплоскостью в Е (см. упр. II. 8). ?
Теперь может быть установлена
? Теорема 12.5. Пусть Р(?), P(F) — два проективных пространства любой (конечной или бесконечной) размерности ^2 и /: Р (?*)—^ Р (Т7)—биекция, такая, что образ любой прямой из Р (Е) есть прямая в Р(/7). Тогда / полупроективна.
Доказательство. Обозначим через Н произвольную гиперплоскость в Р (F) и снабдим & = Р (E)\f~l (Н) (соотв. ф—Р (F)\H) аффинной структурой, полученной отправкой f~l (Н) (соотв. Н) в бесконечность. Ограничение f отображения / на <§ есть биекция $ на Фу преобразующая аффинные прямые из Ж направления ??f~l(H) в аффинные прямые в ф направления /(?). По теореме III. 8.1 f есть полуаффин-ная биекция <§ на Ф.
С помощью легкого обобщения предложения 4.1 видим, что такая биекция f продолжается до полупро-ективной биекции Р (Е) на Р(/7), с необходимостью совпадающей с / (поскольку образ прямой направления ? из (Г есть прямая направления /(?) в Ф)\ отсюда и вытекает результат. ?
Путем сравнения этой теоремы с предложением 12.3 получается, наконед,
168 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
? Теорема 12.6. Если Р(?), P{F) — два проективных пространства одинаковой конечной размерности 2, то всякая коллинеация Р (Е) на Р (F) полу-проективна.
Коллинеации и корреляции (случай конечной размерности)
С каждым проективным пространством Р (Е) конечной размерности свяжем множество Р (Е) его проективных подпространств (включая пустое множество и само Р(Е)). Немедленно убеждаемся, что каждая полупроективная биекция /: Р(В)-^Р(/7) продол-
жается в биекцию f: Р (?)-> Р(?), для которой выполнено условие
(VX, Ке=Р(?)) XczY=>J(X)<=J(Y). (1>
