Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если прямые (АА'), (ВВ') и
(СС') не параллельны, то две из них, для определенности (АА') и (ВВ'), имеют общую точку О; чтобы доказать, что и (СС') проходит через О, допустим противное. Прямая (ОС) не может быть параллельной одновременно прямым ,(Л'С') и (В'С'); предположим для определенности, что она пересекает прямую (А'С') в точке С" (рис. 16). Применив свойство
*) В советской литературе более принят термин «система Веблена — Веддерберна». — Прим. перее.
6. ДЕЗАРГОВА ПЛОСКОСТЬ
191
(Б) к треугольникам (АВС) и (А'В'С'), мы увидим, что соотношения (А'В')\\(АВ) и (Л'С")||(ЛС) влекут (В'С") || (ВС), и поскольку (В'С') || (ВС), точки В', С', С" коллинеарны. Так как точки А', С', С" тоже коллинеарны, то С" = С', откуда и следует коллинеарность О, С, С'. ?
Теперь мы можем доказать, что из аксиомы (О) вытекает аксиома ((1).
б'
Рис. 17
Предложение 6.2. Пусть (АВС) и (А'В'С') — два треугольника на дезарговой плоскости, такие, что прямые (АА'), (ВВ') и (СС') различны и параллельны. Тогда из условий (А'В')\\(АВ) и (Л'С')Ц(ЛС) вытекает и (В'С') || (ВС).
Доказательство. Если бы прямые (В'С') и (ВС) не были параллельными, то проходящая через С' параллель к (АС) пересекала бы прямую (А'В') в некоторой точке В", отличной от В' (рис. 17), а прямая (ВВ") пересекла бы прямую (АА') в некоторой точке О. По предложению 6.1 соотношения
№
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
(Л'В")||(ЛВ), (А'С')\\(АС) и (В"С')||(ВС) привели бы к пересечению прямых (ЛЛ'), (ВВ') и (СС') в точке О, что противоречит предположению (ЛЛ') II II (СС'). ?
^ Следствие. Любая дезаргова плоскость есть плоскость трансляций.
Это утверждение можно также установить, применяя гомотетии (см. упр V. 3).
Существование гомотетий
По изложенному выше аксиома (О) ведет к существованию транзитивной группы трансляций; мы увидим, что она влечет и существование гомотетий с заданным центром.
^ Теорема 6.3. Пусть ^—дезаргова плоскость. Для любой тройки коллинеарных точек (О, Л, Л'), такой, что Л Ф О и Л' Ф О, существует единственная гомотетия к с центром О, такая, что к(А) = А'.
Доказательство. Единственность уже была установлена (предложение 2.6). Для доказательства существования к выполним конструкцию, аналогичную той, которую мы провели для трансляции (теорема 3.1).
Ввиду тривиальности случая Л = Л' предположим, что Л' Ф Л, и обозначим через 3) прямую (ОЛЛ'). Выберем точку В е 3\3> и обозначим через В' точку пересечения прямой (ОВ) с проведенной через Л' параллелью к (ЛВ). Определим теперь отображение к плоскости 3 в 3 следующими условиями:
1) к (О) = О;
В) если М е 3 \3>, то точка М' = к(М) колли-неарна с О и М и (А'М')\\(АМ) (рис. 18);
ш) если Л1е2)\{0), то М' = к(М) коллинеарна с О и М и (В'ЛГ)Ц(ВМ) (рис. 19).
Очевидно, что к есть биекция 3 на 3, имеющая единственную неподвижную точку О. Для того чтобы доказать, что к — гомотетия, достаточно проверить, что для любой пары точек (М,Щ из ^\{0} точки
6. ДЕЗАРГОВА ПЛОСКОСТЬ
193
М' = к(М) и № = к (И) удовлетворяют условию
(АГЛОИ (МАГ).
Первый случай. Ни одна из точек М, N не принадлежит прямой 2) = (АА') (рис. 18).
В этом случае из (А'М') || (АМ) и (А'И') || (АИ), применяя (О), получим (М'И') || (МИ).
Второй случай. Обе точки М, N принадлежат прямой 2)\ тогда прямые (МИ) и (М'И') совпадают.
Третий случай. Точка М лежит на прямой 2) = = (АА'), а точка N не лежит ни на какой из прямых (АА'), (ВВ') (см. рис. 19).
Первое применение аксиомы (Э) дает (В'Л^)Ц || (ВИ), и поскольку (В'М')\\(ВМ) по построению, повторное применение (Э) дает (М'И') || (МИ).
Четвертый случай. Точка М лежит на прямой (АА'), а точка N на прямой (ВВ') (построение рисунка предоставляется читателю).
Так как плоскость 2> не может сводиться к объединению пары пересекающихся прямых (АА'), (ВВ') (см. упр. V. 2), то в 9* найдется точка Р, не принадлежащая ни одной из этих прямых. Положим Р' = = Н(Р). Обращаясь к первому случаю, найдем, что (И'Р') || (ИР). Согласно третьему случаю, (М'Р')\\ || (МР). Отсюда (М'И') || (МИ) получается новым применением аксиомы (О). ?
Отметим строгую аналогию этого рассмотрения с частью Ь) доказательства теоремы 3.1.
7 Ж. Лелон-Ферран
194
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Для полноты этой аналогии с теоремой 3.1 можно без труда установить такое обращение теоремы 6.3: Пусть & — плоскость аффинного типа, такая, что для любой тройки (О, Л, Л') различных коллинеарных точек существует гомотетия к с центром О, такая, что Л (Л) = Л'. Тогда плоскость дезаргова.
7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА, АССОЦИИРОВАННОГО С ДЕЗАРГОВОЙ ПЛОСКОСТЬЮ
Векторные гомотетии
Поскольку гомотетии плоскости аффинного типа сохраняют параллелизм, они переводят любой параллелограмм снова в параллелограмм. Отсюда легко выводится
Предложение 7Л. В плоскости трансляций образы при гомотетии к двух эквиполлентных пар (Л, В) и (С, О) — также эквиполлентные пары.
Следствие. С каждой гомотетией к плоскости
—^ ^
трансляций 9* ассоциируется отображение А из 9 в 9, для которого
(V (Л, В) е 9>2) А (Л) А (В) =1 (АВ).
->
Мы называем к векторной гомотетией и векторной частью к (слово «линейной» не имело бы в данный момент смысла).
