Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
X,
vly (X)J = J dx.
22 Л. Э. Эльсгольц
326 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
15. Найти экстремали функционала
X1
» (У Wl = J (У2 + У'2 + 2уех) dx.
X0
16. Найти экстремали функционала
X1
V [у (х)] = J (у2 — у'2 — 2у sin х) dx.
17. Найти экстремали функционала
18. Найти экстремали функционала
Xl
w [У W] = J [*2 (У')2 + 2у2 + 2ху] dx.
X0
19. Найти экстремали функционала
Xi
HJWl = f [(У")2 — 2 (у'У 4-у2- 2у sin X] dx.
20. Найти экстремали функционала ,
Xi
Hy(X)J = f [(y"')2 + y2-2yx3]dx.
ГЛАВА 7
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами
В главе 6 при исследовании функционала
предполагалось, что граничные точки (х0, у0) и (X1. ух) заданы. Предположим теперь, что одна или обе граничные точки могут перемещаться. Тогда класс допустимых кривых расширяется, — кроме кривых сравнения, имеющих общие граничные точки с исследуемой кривой, можно уже брать и кривые со смещенными граничными точками.
Поэтому если на какой-нибудь кривой у = у(лг) достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой у = у(х), и, следовательно, должно быть выполнено основное, необходимое для достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие — функция у(х) должна быть решением уравнения Эйлера
Итак, кривые у = у(х), на которых реализуется экстремум в задаче с подвижными границами, должны быть экстремалями.
Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с неподвижными граничными точками такими условиями были
V
У (?) = у0 и у (X1) = уj.
22*
328 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 7
В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных постоянных общего решения уравнения Эйлера должны быть получены из основного необходимого условия экстремума — равенства нулю вариации bv.
Так как в задаче с подвижными границами экстремум достигается лишь на решениях у = у(х, C1, C2) уравнения Эйлера, то в дальнейшем можно рассматривать значение функционала лишь на функциях этого семейства. При этом функционал v[y(x, C1, C2)] превращается
Рис. 7.1.
в функцию параметров C1 и C2 и пределов интеграции X0 и X1, а вариация функционала совпадает с дифференциалом этой функции. Для упрощения будем считать, что одна из граничных точек, например (хо< Уо)> закреплена, а другая (X1, уг) может перемещаться и переходит в точку (X1-I-Ax1, у! -4- Ay1), или, как обычно обозначают в вариационном исчислении, (X1-J-Ox1, у14-бу1).
Допустимые кривые у = у (х) и у = у (х) 4- бу будем считать близкими, если модули вариаций бу и бу' малы, и 'малы модули приращений Ox1 и Oy1 (приращения Ox1 и Oy1 обычно называют вариациями предельных значений X1 и у5).
Экстремали, проходящие через точку (х0, у0), образуют пучок экстремалей у = у(х, C1). Функционал v[y(x, C1)] на кривых этого пучка превращается в функцию C1 и X1. Если кривые пучка у = у(х, C1) в окрестности рассматриваемой экстремали не пересекаются, то v[y(x, C1)] можно рассматривать как однозначную функцию X1 и у2, так как задание X1 и ух определяет экстремаль пучка (рис. 7.1) и тем самым определяет значение функционала.
Вычислим вариацию функционала v [у (х, C1)] на экстремалях пучка у = у(х, C1) при перемещении граничной точки из положения (X1, yj) в положение (х, 4-Ox1, У) 4-Oy1). Так как функционал v на кривых пучка превратился в функцию X1 и yv то его вариация
§ 1] • ПРОСТЕЙШАЯ4 ЗАДАЧА с ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 329
совпадает с дифференциалом этой функции. Выделим из приращения Av главную линейную по отношению к бх, и Oy1 часть:
Av = j F (X, у 4- бу. у' 4- 6у') dx — j F (х, у, у') dx =
дт.+олт,
= f F(x, у+ by, у'-r-6y')?fx +
+ J [/7W У-г-fiy. у' + бу') — F(X1 у. y')]fifx. (7.1)
Первое слагаемое правой части преобразуем с помощью теоремы о среднем значении:
f F(x, у+ by, y' + by')dx = F\x_Xi+ebXibxl. где 0<6<1.
Xi
в силу непрерывности функции F будем иметь:
77U1+GaT1 = J7W У- y'>U,+ei.
где E1 —0 при OX1-^O и бу,-*0. Итак,
Kx + 6х,
J f(x, у4-бу, у' + OyV* = F(x. у. уЛ|,,, бх, +-E1Ox1.
Xi
Второе слагаемое правой части (7.1) преобразуем путем разложения подынтегральной функции по формуле Тейлора
Xi
J[F(X1 у+ by, у'+ by') —F(x, у, y')[dx =
Xx
= J [Fy(x, у, y')by + Fy(x, у, у')by']dx + R1,
X,
где R1 является бесконечно малой более высокого порядка, чем бу или бу'. В свою очередь линейная часть
х,
J* (Fy by + Fr by') ал
330
вариационные задачи с подвижными границами [гл. 7
может быть преобразована путем интеграции по частям второго слагаемого подынтегральной функции к виду
іру ьу ? + / {ру - -к FA6у dx-
Значения функционала берутся лишь на экстремалях, следовательно, Fy — -J^ Fy' = 0. Так как граничная точка (х0, у0) закреплена, то OyL ==0. Следовательно,
