Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Потенциальная энергия U элемента абсолютно гибкой струны пропорциональна растяжению струны. Участок струны dx в деформированном состоянии, с точностью до бесконечно малых более высокого поряд-
ка, имеет длину ds = -+- и'х dx и, следовательно, удлинение элемента
равно [у \+и'х— l) dx. По форму-
ле Тейлора \^ 1 + Ux « 1 +
Считая Ux малым и пренебрегая более высокими степенями Ux. полу-
1 .j
Чим, что потенциальная энергия элемента равна тт dx, где * — множитель
,2
1
Рнс. 6.15.
21 Л, Э. Эльсгольц
322 метод вариации в задачах g неподвижными границами (гл. в
пропорциональности, а потенциальная энергия всей струны равна
і
І f ku*dx-
о
Кинетическая энергия струны равна
I
2
dx,
о
где р — плотность. Интеграл j" (T — U) dt имеет в данном случае вид
'і
V= J j" j^y puf — Tj-^2J dx dt.
и o
Уравнение движения струны будет уравнением Остроградского для функционала v. Итак, уравнение движения струны имеет вид
Если струна однородна, то р и k — постоянные, и уравнение колеблющейся струны упрощается:
д2и , д2и
Допустим теперь, что на струну действует еще внешняя сила / (t, х), перпендикулярная к струне в ее положении равновесия и рассчитанная на единицу массы. Как легко проверить, силовая функция этой внешней силы, действующей на элемент струны, равна р/ (t, х) и dx; следовательно, ин-
t\
теграл Остроградского — Гамильтона j (T — U) dt имеет внд
t, I
f J' [т ~ ~2 hU* + Pf ('' Х) "] dX dt'
U О
а уравнение вынужденных колебаний струны
или, если струна однородна,
dt2 р дх2 ~~1 ('' ХГ
Совершенно аналогично может быть получено уравнение колеблющейся мембраны.
Пример 3. Выведем уравнение колебаний прямолинейного стержня. Направим ось абсцисс по оси стержня, находящегося в положении равнове-
§ П
некоторые приложения
323
сия. Отклонение от положения равновесия и(х, t) будет функцией X и времени t, кинетическая энергия стержня длины /
dx.
Будем считать стержень нерастяжимым. Потенциальная энергия упругого стержня при постоянной кривизне пропорциональна квадрату кривизны. Следовательно, дифференциал dU потенциальной энергии стержня равен
dU = \k
дЧ дх2
а потенциальная энергия всего стержня, кривизна оси которого, вообще говоря, переменна, будет равна
U =
дЧ дх2
И#)Т
dx.
Предположим, что отклонения стержня от положения равновесия малы и
/ ди \2
членом [-Jx-) в знаменателе можно пренебречь; тогда
U
=4/* (5-Уdx-
Интеграл Остроградского — Гамильтона имеет вид
/Л
1 /2
JPU1 ¦
-JkUxJdX dt.
Следовательно, в случае свободных колебаний упругого стержня будем иметь следующее уравнение движения:
Если стержень однороден, то р и k — постоянные, и уравнение колебаний стержня преобразуется к виду
дЧ
д4и
р dt2 + * ~ox<
= 0.
Если на стержень действует * внешняя сила / (t, х), то надо еще учесть потенциал этой силы (см. предыдущий пример).
Принцип, стационарного действия может быть применен при выводе уравнений поля. Рассмотрим скалярное, векторное или тензорное
21*
324 метод вариаций В задачах С неподвижными границами !ГЛ. в
, , / ow ow ow ow\
L=zL\w-^' Sy- w -ж)-
и, следовательно, действие имеет вил
////+•?• ?• т)*"*"*- <63>
D
Согласно принципу стационарного действия уравнение поля является уравнением Остроградского для функционала (6.3):
^ - -3GF 14} - ? Ы - TIЫ - W 14 = 0..
где
_ Ow _ Ow _ow _ ow
Задачи к главе 6
1. Найти экстремали функционала
Vl+ У'
V [У (-*)] = f
dx.
У
Xt
2. Исследовать на экстремум функционал
V [у (X)] = J (у2 + 2хуу') dx; у(х0) = у0; у(х,) = у,.
3. Исследовать на экстремум функционал
і
v{y(x)] = J(xy+ У2 — 2y*y')ax: У (0)-1; У (1) = 2.
о
4. Найти экстремали функционала
х,
V [у (X)] = f у' (1 + x'y')dx.
поле w = w(x, у, z, t). Интеграл J(T-U)dt в данном случае,
и
вообще говоря, будет равен четырехкратному интегралу по пространственным координатам х, у, z и по времени t от некоторой функции L, называемой плотностью функции Лагранжа или лагранжианом.
f., . ow ow uw ow
Обычно лагранжиан является функцией w, , -^-, -^-, -щ-:
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ в
5. Найти экстремали функционала
V [у (X)) = J (у'г + lyy' — 16у2) dx.
Xe
6. Найти экстремали функционала
V [у (X)] = j(xy' A-y'2)dx.
X-
7. Найти экстремали функционала
X1
V [у (X)] = J ¦^r-dx.
8. Найти экстремали функционала
х,
V [у (X)] = J (у2 + у'2 — 2у sin х) dx.
Хч
9. Найти экстремали функционала
v ІУ (X)) = J (16у2 — у"2 •+- X2) ¦*•>
10. Найти экстремали функционала
u [у (X)] = J* (2ху + у"'2) dx.
11. Найти экстремали функционала
u [у (х), г (X)] = J (2уг — 2уг + у'2 — г'2) dx.
X
12. Написать уравнение Остроградского для функционала
D
13. Написать уравнение Остроградского для функционала
D
14. Найти экстремали функционала
