Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
J х{х- 4) < 0, Jo < X < 4, I X Ф a, I X Ф а.
3) При а < 0 и при а > 4 множество решений — это интервал (0; 4), который содержит какой-нибудь отрезок длиной 3. Значит, такие а не удовлетворяют условию задачи.
4) При а Є (0; 4) множество решений - это (0; a) U (а; 4). Если 0 < а < 1, то в интервале (а; 4) длиной больше 3 есть отрезок длиной 3 Если 1 < а < 2, то длины интервалов (0; а) и (а; 4) не больше 3 и поэтому в них нет отрезков длиной 3. При этом в интервале (а; 4) длиной большей 2 есть отрезок длиной 2. Симметрично, для 2 < а < 4. Если же а = 2, то в (0; 2) U (2; 4) нет отрезков длиной 2, так как длины обоих интервалов равны 2.
Ответ: [1;2) U (2; 3].
43
Как уже отмечалось, в ЕГЭ-2001, 2002, 2003, 2004 годов существовало строгое соответствие между тремя типами заданий и тремя частями самого варианта. Эта структура вариантов была изменена в 2005 году. Задания с развернутым ответом появились и в части 2 (задания Cl и С2), и в части 3 (задания СЗ—С5). Задание С4 было при этом стереометрическим. Такова же была структура вариантов в 2006—08 гг.
И в задании СЗ, и, в особенности в задании С5, как правило, присутствуют различные тематические составляющие: эти сложные задания, действительно, «сложены» из довольно различного учебного материала. Почти в каждом из них имеются и преобразования выражений, и решение уравнений или неравенств, и могут быть применены методы исследования функций.
Вот, например, задание СЗ из ЕГЭ-2005, которое сводится к решению неравенств, но в котором преобразования выражений играют заметную роль. Все же, первоначальный шаг в решении такого типа задач может быть отнесен к проверке навыков логического мышления учащихся. А именно, требуется ясное понимание того, что неравен-
[b < d,
ство тах\Ъ\ с] < d равносильно системе неравенств < а нера-
\ с < а,
венство min{b; с} < d равносильно совокупности неравенств
~Ъ < d, с < d
Симметричным образом, неравенство тах\Ъ\ с} > d равносильно со-
~Ъ > d,
вокупности неравенств
а неравенство min{b; с} > d равно-с > d,
\b>d
сильно системе неравенств < При этом сама запись решения
I с > d.
задачи вовсе не обязательно должна быть оформлена с использованием именно систем или совокупностей.
Пример 4. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых наименьшее из двух чисел Ъ — a4 (I - 5а~2) - 1 и с = а~ъ (5а - а~{) - 1 больше -7.
Решение.
1) Решим сначала неравенство Ъ > -7. Т. к. а > 0, то а4(1-5а-2)-1 > -7
44
<=* аА - 5а2 + 6 > О <=*
<=* (а2 - 2) (а2 - 3) > О <=> cfi е (-оо; 2) U (3; +оо) <=> <=> а2е[0;2) U(3;+oo) <=>
<=> а Є (-оо; -і/З1) U (-/21; о) U (О; уТ) U (/З1; +оо).
Итак, а Є (О; У?) U (і/З1; +оо).
2) Теперь решим неравенство с > -7.
е-3 (5а - е-1) - 1 > -7 <=> а~3(5а - а-1) + 6 > 0 ?=* <=> а-4-5а-2-6<0 <=> (fl-2_6)(fl-2 + l) < 0 <=*
« а-2 - 6 < 0 <=> А-2 < 6 <=> а2 > 1 » |я| > -^= <=>
Итак, а Є ( +оо ). Здесь важно, что аг2 + 1 > 0 для всех а.
3) Задача равносильна нахождению всех положительных а, при которых верно неравенство Ь > -7, и верно неравенство с > -7. Значит, следует найти все общие точки множеств, полученных в 1) и в 2).
Аналогичным образом, решение следующей задачи С5 из ЕГЭ-2006 на первом шаге состоит в решении логарифмического неравенства, на втором шаге используются тождественные преобразования выражений, и на заключительном этапе по существу нужен функционально-графический подход к решению уравнений. Здесь мы подробнее остановимся на втором шаге. О способах решения логарифмических неравенств с переменным основанием мы поговорим в следующем параграфе.
Пример 5. Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа а-2а~2 и За2а - Аа2-4а~3 - 27 являются решениями неравен-
у?
Ответ:
Решение.
> 0 <=> л: є (5,5; 6,5) U [9; 10).
45
2) Пусть X = а-2а 2 Тогда
у = За-2" - 4а2.4а"3 -27= 12{а-2а~2) - {а^'2)2 - 27 = = 12х-х2-27 = -(*2-12х + 36) + 9 = 9-(х-б)2.
Точка (6; 9) — вершина параболы у = 9 - (х - б)2, ветви которой направлены вниз.
Если X Є [9; 10), то у < у(9) = 0, т.е. у не принадлежит множеству (5,5; 6,5) U [9; 10).
Если X є (5,5; 6) U (6; 6,5), то
8,75 = у(5,5) = у(6,5) < у < у(6) = 9,
т.е. у не принадлежит множеству (5,5; 6,5) U [9; 10).
Если X — 6, то у — 9. Тогда и число дг, и число у принадлежат множеству (5,5; 6,5) U [9; 10), т.е. являются решениями исходного неравенства.
3) Итак, число а удовлетворяет условию задачи, только если X = а-2а~2 = 6. Если « = 3, то а-2а~2 - 3-2 = 6. Других корней нет, так как если а < 0, то а-2а~2 < 0, а при возрастании а > 0 возрастают множители аи2а~2 > 0, и поэтому возрастает произведение
fl-Z
О т в е т: З
Задание С5 из ЕГЭ-2007 формально состояло в исследовании количества решений системы уравнений. Но, с содержательной точки зрения, начальными для решения задачи учебными умениями являлись как раз тождественные преобразования арифметических выражений.
Пример 6. Докажите, что система уравнений 15х3 + 36х2 + 22х + 4 = 0,
9sin^- + cos((5x+ \)у) = у(у + ^-- 1 j + p/A + 16 + 5х(1 -5х) '•siny не имеет решений.
