Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
(5.8.13) получаем
dlk
dt
¦ с8 2 I a'sr (0 I ^ с9 II А' (0 Ц. (5.8.14)
Следовательно, если А' (/) $ L [/", оо), то
СО
d\"
dt
dt оо,
(5.8.15)
т. е. K(t)? L[T, со) = ft).
На основании формулы (5.8.8) при t^T будем иметь
\Cjk (t) ! =?S Сю | (/) | -f- Сц || А' (/) ||
(/, к -\ , ft).
ПРИВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ К 1-ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
353
Поэтому
со
51| С (0 !,i < оо
т
и С (t) С Е\Т, со). Наконец, в силу неравенства (5.8.11), мы получаем
также
С-ЧОеСЧТ, оо) и ~ [С1 (0J 6 МЛ со).
Лемма доказана.
Замечание. Из доказательства следует, что если матрица A (t) имеет
абсолютно интегрируемую на [/", со) производную A'(t), то ее
характеристические корни ХА(0 (А = 1,..., п) обладают также абсолютно
интегрируемыми на [Т, со) производными K(t).
Ограниченную неособенную матрицу C(t)?Cl[T, со), имеющую обратную матрицу
С 1 (t) с теми же свойствами для краткости, будем называть регулярной на
[Т, со).
Следствие. Переменную матрицу A (t) ? С1 [/0, аз), имеющую предел на
бесконечности с простыми собственными значениями, с помощью регулярной
матрицы С (t) в области t^T^t0 (где.Т достаточно велико) можно привести к
диагональному виду.
Если матрица A (t) абсолютно интегрируема на [/0, аз), то матрицы С (t) и
~ [С~'(0] также абсолютно интегрируемы на ['Т, со).
§ 9. Приведение линейной системы к L-диагональному виду
Рассмотрим линейную систему
§ = [A(t) + B(t) \х, (5.9.1)
где A (t) С С1 [/0, со) и B(t)?C [/", со).
Теорема. Пусть 1) матрица A (t) допускает конечный предел на
бесконечности
А (аз) = lim A ((), (5.9.2)
t-у СО
причем предельная матрица А (со) имеет различные собственные значения; 2)
производная A (t) и матрица В (t) абсолютно интегрируемы на [/0, со), т.
е.
СО со
$||Л (0!1Л<оо,$||Я(0||Л<оо. (5.9.3)
'о *0
12 Б, П. Демидович
354 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Тогда система (5.9.1) в области t^T^t0 с помощью регулярного линейного
преобразования
х = C(t)y (5.9.4)
может быть 'приведена к L-диагональному виду
d? = [K{t) + Q(t)\y, (5.9.5)
где
Л (0 = diag [X, (О,-.-, Х"(0] ? С1 [7\ оо), sup |i Л(0 || < со
t
Q(fl€ С[7\ оо) П М7\ оо).
Замечание. Если производная A (t) абсолютно интегрируема на [/", со), то
существует предел (5.9.2).
Действительно, имеем
|| A (t9) ~ A ((,) || = |! \ А (0 dt\\^l || А (t) || Л<е при 4> h>T^tt.
t! ti
Отсюда в силу критерия Коши существует
lim A (t) = А (со).
/->СО
Таким образом, условия 1) и 2) не являются вполне независимыми.
Доказательство (см. [60]). Пусть С (t)- регулярная матрица, приводящая
матрицу A (t) к диагональному виду:
C~l{t)A{t)C{t) = A{t) (TsSf<co). (5.9.6)
Такая матрица существует на основании леммы о диагонализации переменной
матрицы (см. § 8). Положим
х = С (t)y.
Из уравнения (5.9.1) имеем
С (0 % + С {t)у = [А (0 + В (0] С (t)y.
Отсюда
^=А(0'у + <3(0у,
где A (t) - диагональная матрица (5.9.6) и
Q(t) = - СГ1 (0 С (0 + С'1 (0 В (t) С (0 ? С IT, оо). (5.9.7)
§ 9)
ПРИВЕДЕНИЕ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ К Г.-ДИ АГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
355
Так как матрицы С (t) и С 1 (0 ограничены, то из формулы
(5.9.7) вытекает, что
IIQ (t) !1=с с, || С (О II + с* IIД (01|,
где Cj и - положительные постоянные.
Если матрицы A (t) и В (t) абсолютно интегрируемы на то С (t) абсолютно
интегрируема на [Т, оо) (см. § 8) и, следовательно,
СО СО 00
\ \\Q(t)\\dt^Cl $ IIС (О II Л+Ci $ II Я (О II <°0.
т г т
Таким образом, Q (t) ? L[T, оо).
Так как матрица A (t) ограничена, то из формулы (5.9.6)
следует, что Л(^) также ограничена.
Теорема доказана полностью.
Пример [60]. Рассмотрим скалярное уравнение dsx
dt2
-t-р (t)x = О,
(5.9.8)
где p(t)? С1 [t0, со), p(t)?L [t0, оо), причем р (t) > 0, р (оо) ф 0.
Уравнение (5.9.8) можно записать в виде системы dx dt=y' dy
dt
= - ш2 (t) X,
где p (t) = ш2 (t). Рассмотрим характеристическое уравнение
X - 1
Д(Х, t) =
U2 (t) I
= 0;
(5.9.9)
(5.9.10)
его корни будут
>1 (t) = г'" (t), X2(t)=-io>(t).
Построим матрицу
C(t)= \Сп Lcsi
приводящую матрицу системы (5.9.9)
A (t) =
(t) cIS (t)
(О (О
]•
О 1 ¦
u2 (/) О
к диагональному виду. Так как собственные векторы
'о,* (t)
п(/?1
it)'
_с2к */)
(*=!, 2)
12*
356
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. ч
ортогональны к матрице А [Х^ (t), t\, TO при ft -
~Ы (t) - 1 ' Й11 (ty
^ (t) /со (t) cst (t).
= 0.
ш3 (t) in (t) J |_c21 (*)J Отсюда можно принять
^11 (0 b ^21 0 Аналогично при ft = 2 получаем
Г - m (t) - 1
[ Ш2 (t) - iu> (t)
и, значит, можно положить
"is (0=1, cS2 (t) =-ia (t). Следовательно, матрица С (t) имеет вид
- /со (t).
C12 (?)
.C22 (t)_
= 0
C(t):
- ia (t) ]'
ia (t) - iu> (t)
Обычным способом находим обратную матрицу
/ Г - /со (0 - П
' 2" (t) [ _ iu) (t) J-
"0 0
C~l (t) :
Кроме того,
C(t)
4"
w (t) - iw (f)
Записав систему (5.9.9) в виде
Отсюда х = '
У 1<Л (t) -- /со (t)_
или, после упрощений,
д
У
X
L У J
1 ' x'
/со (t) - /со (t) У.
'1 1 1'
Ы (t) - /со (*)_ -71-
+ f°. ta (t) 0 - /со (t)
¦it) 0
[I
со (t)
• /со (t)_
_ Г /со (t) 0 V CO (t) ¦ 1 - г 'С'
