Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Записывая уравнения (5.4.6) и (5.4.7) в интегральной форме
при и е^>0, получим
X (т, е) = л;0 + $У(е, Х(в, в), e)dd (5.4.8)
О
и
.У(т) = хо + 5КСУ(0))?*0. (5.4.9)
О
Отсюда, полагая
¦*+, 0)=у(т),
будем иметь, что уравнение (5.4.8) справедливо при е^О и
^[0, Т].
Рассмотрим семейство решений {л+, е)|, где Ог^т^Т и в0. Это семейство
равномерно ограничено на [О, Т], так как
в силу неравенства (5.4.2), учитывая, что К(в, х, г) = Х\^-, xj
при е 0, из уравнения (5.4.8) получаем
1
II X (т, е) || "S || Х0 ||+$11 У(в, Х(д, в), в) || d6 ^ || а:0 ||
+/ИГ.
о
Кроме того, данное семейство является равностепенно непрерывным по т на
[О, Т] ввиду того, что на основании уравнений
dx
(5.4.6) и (5.4.7) производная равномерно ограничена на [О, Т]
(см. пример из § 2).
В силу теоремы Арделя из каждой последовательности х(х, Bk)(k=\, 2,...),
где гА-> + 0, можно выделить равномерно сходящуюся на [О, Т]
подпоследовательность
¦*+, (О^х^Т) при (5.4.10)
Очевидно, имеем
Переходя к пределу при k -> сю в этом равенстве и используя теорему
Красносельского - Крейна, получим
т t
у (т) = *0 + 5 Y(6, У (9), O)de = Ar0 + $ Y(y (B))dB (O^z^T).
о О
fj 5] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 335
Отсюда
%=Y(yb))
и _у(0) = л;о. Так как уравнение (5.4.7) в силу условия теоремы при
OsgTsgT' имеет единственное решение у (т), удовлетворяющее начальному
условию: у(0) = л:0, то
у(т)=_у(т) при OsgTsgT1.
Следовательно, из любой последовательности
л:(т, sk) (k = \, 2, ...), где е* -^-)- 0, можно выбрать
подпоследовательность х (х, ер) (k = l, 2, ...), равномерно сходящуюся на
[О, Т] к одной и той же предельной вектор-функции _у(т). На основании
теоремы § 1 отсюда следует, что семейство решений х(х, е) при s-v + O
равномерно на [О, Т) сходится к решению у (т) усредненного уравнения
(5.4.7), т. е.
II X(z, е) - у (т) [| <т] при 0=sStsST, Os?e<e0(t]). Возвращаясь к
прежней переменной t, окончательно получим
II x(t, е)- y(t) || <т] при 0 0^(r)<ео(^),
что и требовалось доказать.
§ 5. Принцип сжатых отображений
Пусть ?! = {х} есть совокупность элементов (точек) произвольной природы
(абстрактное пространство).
Определение 1. Множество R = {х} называется метрическим пространством
(см. [51]), если для любой пары точек х, у ?R определена числовая функция
р (х, у) (расстояние) со следующими свойствами (аксиомами):
1) ?(х, У)^0, причем р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
2) р(х, у) = р(у, х) (симметрия);
3) если х, у, z ? R, то
р(х, г/)й? Р(х, г) + р(г, у)
(неравенство треугольника).
Пример 1. Совокупность действительных упорядоченных л-мерных комплексов
*=(*1( ... , хп), у=(уг, ... , уп), где
9(х, У)= [2 (¦**"yi)s]s*
г=1
является метрическим пространством (л-мерное евклидово пространство <Мп)-
336 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Пример 2. Пусть /?={о(^)} - совокупность ограниченных вектор-функций
o(t)?C (a, b), sup || о (t) || -с со, где (а, Ь) - конечный или
бесконечный промежуток. Для любых о, '^R положим
р (ч** +) = supli?(0 - Ф(0 Hi t
где || 9 ||-одна из рассмотренных выше норм (гл. I, §4). Тогда
пространство R метрическое.
Действительно, выполнение аксиом 1) и 2) очевидно. Пусть теперь ?> X (:-
??• Для любого (а, Ь) имеем
II ? (О - * (О =? II ? (О - х (О II + II х (0 - * (О II ^
"? sup 11 <? (t) - J (t) \\ -f sup 11 j (t) - ф (t) \\ Sg p (o, 7.) +
p (x,
t t
Отсюда
p(o, ф) = sup ]| tp (t) - Jj(0||s?p(t, x)+P(X> W. и, таким образом,
третья аксиома также выполнена.
Определение 2. Последовательность xt, хг, ..., хп, ... точек метрического
пространства R называется фундаментальной, если для нее выполнен критерий
Коши, т. е. для Vs О ЭN =
= N (&) такое, что при V т, п^> N имеем
Р (•'•mi Хп)<^_?. (5.5.1)
Очевидно, неравенство (5.5.1) эквивалентно следующему:
Р (Хп+р, Хп)0 при п>л/(е) и р>0.
Пространство R называется полным, если любая фундаментальная
последовательность {хп} его является сходящейся в R, т. е. из условия
(5.5.1) следует, что R такая, что
lim р (хп, ?) = 0.
Я-" СО
В этом случае пишут хп^Ч и точку \ называют пределом последовательности
{хп}.
Пример 3. Пространство R функций а?С (а, Ь) из примера 2 является полным.
Действительно, пусть <?i (*)¦•••. -Фундаментальная последо-
вательность из R, т. е.
Р (?л+р. <ря) < е при п > N (е) ир>0.
Отсюда
II ?л+р (0 - ?л (О II < Е Для t ? (а, й), (5.5.2)
если только ге>Л'(Е) и р > 0. Таким образом, для последовательности
вектор-функций {^n(t)\ на (а, Ь) выполнен критерий Коши. Следовательно,
эта последовательность сходится на (а, Ь), т. е. существует
<Р (t) = lim (*). п~*со
§ о] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 337
Переходя к пределу при р-^оэъ неравенстве (5.5.2), получаем
II ?(*)-<?" (О IK* (5-5.3)
при п >¦ N (в).
Отсюда следует, что сходимость равномерная:
<Ря (0 ==<?(<).
итак как вектор-функции <p" (t) непрерывны на (а, Ъ), то сp(t)?C(a, b).
Кроме того, учитывая, что вектор-функции <р" (t) ограничены:
II ?" (*) IK с" (п = 1,2,...),
из неравенства (5.5.3) при фиксированном nt>-N(\) находим
