Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
-со
со
= ^ G (t - ti) ф (tt + U), Г] (t{ -j- a.)) dti =
-CO
CO
= ^ G (t - ^)ф(^, т] (h + ш)) dti.
-oo
Отсюда
I! 4 (^ + ") - 'П (0 II '
CO
ss $ || G (t - tt) || || ф (tu nft + o")) -ф(*ь 4 (f,)) || d*i sS
-CO
^ N sup II ц (t + UJ) - Ц (t) || Cj,
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
365
где
со
с,= 5 || G (t) || dt.
- со
Следовательно,
sup || Л (* + "О - Л (О II sSCiA'sup || л (/ + (") - л (0 || , t t
а так как cxN 1, то
sup II л (* + (") - Л (О II ^ О,
л(/ + и>)=л (о,
что и требовалось доказать.
Следствие 2. Если для всех характеристических чисел Х;-(А) матрицы А
выполнено условие:
Re МЛ)<0,
то система (5.10.8) конвергентна (гл. IV, § 16).
Действительно, в этом случае ограниченное решение л (0 единственно (ср.
гл. IV, § 16, лемма 1) и для любого решения У (('< to, У о) системы
(5.10.8) имеем
!im|'>;(/; t0, у0) - Л (0 II = 0.
t~* СО
Упражнения к главе V
1. Пусть
^- = Aa(t)xa (.)
- семейство ш-периодических (со > 0) линейных систем и существует предел
03
А = lim - \ Аш (t) dt.
со -+ о °> J
о
Тогда характеристические показатели Ху (со) (_/= 1, ..., п) системы (*)
при надлежащем выборе их мнимых частей имеют пределы:
И ¦ = lim X ¦ (ш) (./ = 1, ..., "),
CD -> -|- О
где (л/ = [лч{А) - характеристические корни предельной матрицы А (см.
(63), [64]).
366 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
2. Вывести асимптотические формулы для решений уравнения
d2x . .
W=P(t)x,
где р (t) ? С1 [<", со,) p(t)?L[t0, со), причем р (t) > 0, р(со) = а2>0
(см. [60]).
3. Пусть
% = Р")Х
(х=(х1, хп) и Р (t) = [pjh (?)])-правильная треугольная
система
(Р/й(*) = 0 при k > j) с непрерывной ограниченной на lt матрицей P(t),
причем
!
а,= lira - \ pjj (tL) dtl ф 0 (j= 1, ..., п).
/-*•00 1 J
О
Доказать, что в таком случае неоднородная система
% = P(t)y+f(t),
где f(t) ? C(It) и sup |!/(<) [| <со, имеет единственное ограниченное на
It решение.
4. Пусть Р (t) = \pjk (?)] ? С (If) и sup [[ Р (t) || < со. Говорят,
что система
щ- = Р")х (,*)
удовлетворяет условиям Перрона [29], если для любой непрерывной и
ограниченной на If вектор-функции f(t) соответствующая неоднородная
система
ft = P(t)y+f(t)
имеет решение у =у (t), у (t0)=0, ограниченное на If = [?0 t < со).
Доказать (см. [65]), что система (**) удовлетворяет условиям Перрона
тогда и только тогда, когда для ее матрицы Коши К (t, х) = Х(()Х_1(х)
справедлива оценка:
[\K(t, т) ||^ae-aU''t' где а и а - некоторые положительные постоянные.
ДОПОЛНЕНИЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Почти периодические функции в смысле Бора
Определение 1. Числовое множество Е = {?} называется относительно плотным
на действительной оси - оо лг<С]-|- оо, если существует число 1^> 0
такое, что каждый отрезок1) a ==g х ==? а -\-1 длины / содержит хотя бы
один элемент нашего множества, т. е. при любом а имеем
[а, а+ /] П S ФО.
Пример. Множество 0, ±1, ±2, ..., очевидно, является относительно плотным
множеством. Здесь можно принять I = 1.
Множество 0, ± I2, ± 22, ... не является относительно плотным, так как
sup | (ft -f-1 )2 - ft21 = со.
/г
Рассмотрим комплекснозначную функцию
/ М = <р (х) -f (х) ? С ( - со, со),
где ср (х) = Re f (х), ф (х) = 1ш f (х).
Определение 2. Число т = (s) называется почти
периодом функции / (х) с точностью до s (короче: ее z-почти периодом или
е-смещением), если для любого х (^ (- оо, со) имеет место неравенство
!/(* + '') -/(*)!<*¦
Очевидно, период функции есть ее почти период для любого е^>0. Нетрудно
показать, что 1) 0 есть почти период для любого е^>0; 2) если т есть е-
почти период функции f (х), то -т есть также е- почти период этой
функции; 3) сумма и разность s-почти периодов этой функции есть также
почти период ее с точностью до 2s.
]) В определении 1 вместо замкнутого отрезка можно брать открытый
интервал.
368
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ДОП.
Определение 3 (см. [66]). Комплекскозначная функция / (х) ^ С ( - со, со)
называется почти периодической в смысле Бора1), если для любого е 0
существует относительно плотное множество почти периодов т функции f (х)
с точностью до г, т. е. существует положительное число / = /(г) такое,
что любой отрезок [а, а-\-1) содержит по меньшей мере одно число т, для
которого выполнено неравенство
1 / (х -|- т) - f(x)\<^t при -со <[ х < + со. (1.1)
Основы теории почти периодических функций были заложены датским
математиком Г. Бором [66]. Основные теоремы о почти периодических
функциях изложены, например, в [66] и [67].
Из определения следует, что всякая непрерывная периодическая функция,
определенная на оси, является почти периодической.
Обратное утверждение не верно, почти периодическая функция может не быть
периодической (см. дальше).
Замечание. Две точки
X И х' - X Т,
отличающиеся на s-почти период функции / (х), назовем t-конгруэнтными .
Если функция / (х) почти периодическая, то для каждой точки х^( - со, со)
на любом отрезке [а, а -(- /], где / = /(е), найдется s-конгруэнтная ей
точка х' [а, а-\-1).
Действительно, в силу определения почти периодической функции / (х) на
