Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
ограничено вместе со своей производной X (t) при t -> со (см. § 17) (А н
т о с и е в и ч). У казани е. Рассмотреть функцию Ляпунова
____________ t
V(t, x,y)=yr^-i-G(x)- jj | e (tt)! dts.
u
10. Пусть для автономной системы
~ = Х(х) (*(0)=0), (****)
где X (х) ? С (е%!х), существует скалярная функция V (х) (&х), удовле-
творяющая в ограниченной области Ql = {x ? <^пх : V (х) </} условиям;
а) V (х) > 0 при хфО; б) K(jc)sg0. Далее, пусть М - максимальное непустое
инвариантное множество (т. е. множество, содержащее вместе с точкой х0
всю траекторию {x(t, лс0), -оо < ^ <-|-со}) такое, что
MczQ, П {K(JC)=0}.
Тогда каждое решение х (t) системы (****), начинающееся в Qt,
неограниченно приближается к М при <-со (Лефшец и Л а-С а л л ь [45]).
11. Пусть х = (хи ..., Хр), у=(у1, ...,Уд) и
%=f(t, X, у), (а)
% = ё (*. у), (Ь)
где /, g ? Cf'xXy " (If X <ffipx X е^р, причем /(0, jc, у) = g (0, х, у)
= 0 при t^t".
1 оворят, что начало координат Ох системы (а) квазиустойчиво, если
для всякого ?>0 существует 5 = 5 (е, t0) > 0 такое, что любое решение х
(t) вспомогательной системы
~ = f(t, х, л(0).
где r\{t)- непрерывный ^-мерный вектор, при ||jc(f0)||<b и ||il(^o)!!<^
удовлетворяет неравенству
|| i (t) || <е
на любом отрезке tas^t s^tu для которого || (t) || s; е.
Доказать теорему Персидского (см. [21]): если начала координат как Ох,
так и О у, систем (а) и (Ь), соответственно, квазиустойчивы, то начало
координат О полной системы ((а), (Ь)) также устойчиво.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
323
12. Исследовать на устойчивость тривиальное решение х = 0 скалярного
уравнения
Х-\-х = fi.i' (ах2 -f- 2bx.t -|- сх2)
(а >0, ас - Ь2 > 0),
где а, Ь, с - постоянные и (х - действительный скалярный параметр (см.
[21]).
13. Исследовать на орбитальную устойчивость периодическое решение E =
sin? скалярного уравнения
X -f- fJ.X (х2 -f- ±2 - 1) -|- X = 0,
где (х - действительный скалярный параметр.
14. Для треугольной нелинейной системы
dxt
dt
--fi (Xl),
=/з (*i> x2),
dx,
dt
i fn (^1) x2, ..., xn),
где fj^C1 (е%пх) (; = 1, ..., n), получить достаточные условия
асимптотической орбитальной устойчивости ее ю-периодического решения
xj= Pj(t) (У = 1..........я)-
ГЛАВА V
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Равномерная сходимость семейства функций
Пусть имеется бесконечное семейство комплекснозначных вектор-функций
действительной переменной t
Ух=/(*. *). (5.1.1)
зависящих от действительного параметра X и, определенное на некотором
множестве ю = ? Т С причем значе-
ния функции f(t, X) ЭТ у-
Определение. Говорят (см. [7]), что при Х->Х0?Л семейство (5.1.1)
равномерно по t сходится к предельной вектор-функции ф (t), т. е.
f(t, X)=tq>(0 на Т при Х->Х0, (5.1.2)
если для V г 0 существует S = S (s) 0 такое, что
Wfit, *)-ф(0!10 (5.1.3)
при t?T и |Х - Х0|<8.
Теорема. Для того чтобы семейство функций (5.1.1) при X ->¦ Х0 равномерно
на множестве Т сходилось к предельной вектор-функции ф(0, необходимо и
достаточно, чтобы из каждой последовательности f(t, Xfc) (k=l, 2, ...),
где lk-+l0, можно было бы выделить равномерно сходящуюся
подпоследовательность
ж (ten (5.1.4)
Доказательство. Необходимость условий теоремы ясна, так как в случае
равномерной сходимости семейства f(t, X) при Х->Х0 к предельной вектор-
функции ф(?) каждая последовательность f(i, lk), где Xft->X0, очевидно,
также будет равномерно сходиться к ф(0-
Докажем достаточность условий теоремы. Пусть семейство f(t, X) не
является равномерно сходящимся при X-"- Х0 к общей предельной вектор-
функции ф (t) всех последовательностей f(t, \к),
где ХЛ->Х". Тогда существует г^>0 такое, что для любого Ък ~
§ 2] ТЕОРЕМА АРЦЕЛЯ 325
(/?- 1, 2, ...) найдется значение параметра X* ? Л, обладающее следующими
свойствами:
Iх* --(Л = 1,2, ...) (5.1.5)
sup || f{t, А*) - Ф (О I: Ss s. (5.1.6)
ter
Из неравенств (5.1.5) и (5.1.6) вытекает, что из последовательности f(t,
Xfc) (&=1, 2,...) нельзя выделить подпоследовательность, равномерно
сходящуюся к вектор-функции ср (t), и мы приходим к противоречию.
Теорема доказана.
§ 2. Теорема Арцеля
Определение 1. Семейство вектор-функций f(t, X) (t(^T, к Л) называется
равномерно ограниченным, если существует постоянная М такая, что
\\f(t, Х)||^М, (5.2.1)
где / (t, X) - любая функция семейства.
Определение 2. Семейство вектор-функций f(t, X) называется равностепенно
непрерывным на множестве Т, если для \/е^>0 Э&^>0 общее для всего
семейства, т. е. такое, что для каждой вектор-функции / (t, X) семейства
выполнено неравенство
II / (f, *)-/(*",*) II "О, (5-2.2)
если только
|Г_Г|<8, f ?T, Р?Т.
Пример. Вектор-функции f(t, X), обладающие равномерно ограниченными
производными f't (t, X) (|| ft (t, X) || si ML) на промежутке a < t < b,
образуют равностепенно непрерывное семейство.
Действительно, предполагая, например, что норма вектора - евклидова, на
основании теоремы Лагранжа, примененной к каждой компоненте, имеем
\\fiv, У)-fit", X) i! = !!(<'-Г)/; (т, X) ц < \Гпмг \с - t" \< е,
