Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Более точно, пусть (t, х) Z0 и x(x;t,x) есть решение системы (4.3.1),
определяемое начальными условиями: х (t; t, х) = х. Тогда
V(t,x) = \d-V(.,x(z; (4.3.3)
Заметим, что если V (t, лг)(^С1, то из формулы (4.3.3) может не следовать
формула (4.3.2). В дальнейшем, если явно не указано противное, мы будем
предполагать, что
V (t, х) ? С&1' (Z0).
Если V (t, х) 0 при V (t, х) = С, то интегральные кривые x = x(t) в
точках (/, х) поверхности V (t, х) - С переходят с отрицательной стороны
поверхности, характеризуемой нормалью- grad V, на положительную ее
сторону, определяемую нормалью -f grad V (рис. 30). При V (t, х)<^0 имеет
место обратная картина. Такого рода поверхности V (t, х) = С называются
поверхностями без контакта для поля интегральных кривых системы (4.3.1).
Замечание. Понятие производной V (t, х) в силу системы
(4.3.1) можно обобщить (см. [41]). А именно, иногда полагают
V(t,x)= lim \ {V (t -f- h, x-\-hX(t, x)) - V (t, x)\.
ft - -i-оn
Если V (t, x) ^ Qxly(Z0), то, очевидно, имеем формулу (4.3.2).
Теорема (первая теорема Ляпунова). Если для приведенной системы (4.3.1)
существует положительно определенная скалярная функция
U> х) (Е Cixu . (Zo Cl 2),
Рис. 30.
§ 3] ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА 239
допускающая знакоотрицательную производную по времени V (t, х) в силу
системы, то тривиальное решение 1 = 0 (a<^t<^ со) данной системы
устойчиво по Ляпунову при t-*--f-со.
Доказательство. На основании условия теоремы имеется непрерывная
положительно определенная функция W (х) такая, что
V (t, х) 5= W (х) 0 при х Ф 0 (4.3.4)
V(t, 0) = W(0) = 0.
В пространстве рассмотрим сферу Ss:
11*11=(r), (4.3.5)
целиком лежащую в Z0, где 0^h<^H.
Так как сфера Se - компактное множество и функция W (х) непрерывна и
положительна на S?, то в силу теоремы Вейер-штрасса нижняя грань этой
функции достигается в некоторой точке jt* Se и, следовательно,
inf W (x) = W (х*) = л> 0.
(4.3.6)
Пусть t0 (а, со) произвольно.
Функция V (*", х) непрерывна по л:, причем V (t0, 0) = 0. Следовательно,
существует окрестность || JC <L S <1 e такая, что
0 sS V (t0, X) < а при || JC || < 8.
(4.3.7)
Рассмотрим любое нетривиальное решение
x = x(t) (4.3.8)
с начальным условием: |i jc" (^0) li <С ^ (ряс. 31). Докажем, что
траектория этого решения целиком остается внутри сферы S., т. е.
||л;(011<Се ПРП /-\сс. (4.3.9)
Действительно, при t = t0 имеем
11 (^о) I! < S <е.
Пусть неравенство (4.3.9) выполнено не для всех со) и
ti^>h - первая точка выхода решения х (t) на границу S., т. е.
||л:(01!<Се ПРИ и I] х (/j) |j = е. Изучим поведение
функции
v(i) = V (t,x(t))
240 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
вдоль решения x(t). Так как в силу условия теоремы
/ул dV " v(t) = dJ^0,
то функция v (t) невозрастающая. Следовательно, учитывая формулы (4.3.7)
и (4.3.6), имеем
7.> V (/", х (to)) S& V (th х (t,)) W (x (10) Ss =t,
что невозможно.
Таким образом, решение x = x(t) при любом конечном ?
€ [*", со) остается внутри сферы S, и, так как s Н, это решение
определено при со (бесконечно продолжаемо вправо),
причем
II (0 II s ПРИ
если только || х (t0) |! <] &. А это и значит (гл. II, § 1, определение
1), что тривиальное решение | = 0 устойчиво по Ляпунову при t -> -со.
Следствие 1. При наличии условий первой теоремы Ляпунова все решения x(t)
системы (4.3.1) с достаточно малыми по норме начальными значениями х (/0)
(to (Е (а> °°)) бесконечно продолжаемы вправо и ограничены на полуоси
[/", ос).
Следствие 2. Если для линейной однородной системы
? = A(t)x (A(t)^C[tlhoo)) (4.3.10)
существует положительно определенная функция V (t, х). для которой
производная в силу системы V (t, х)^0, то все решения x(t) системы
(4.3.10) определены и ограничены на полуоси [/", ос).
§ 4. Вторая теорема Ляпунова (теорема об асимптотической устойчивости)
Теорема (вторая теорема Ляпунова). Пусть для приведенной систгмы (4.3.1)
существует положительно определенная функция V (/, х) G (Z"), допускающая
бесконечно малый высший предел при л:->-0 и имеющая отрицательно
определенную производную по времени V (t, х) в силу этой системы. Тогда
тривиальное решение | = 0 системы асимптотически устойчиво по Ляпунову
при t -> оо.
Д о к а з а те л-ь с т в о. Так как условия теоремы являются усилением
условий теоремы из § 3, то тривиальное решение | = 0 приведенной системы
(4.3.1) устойчиво.
" 4]
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА
241
Согласно определению асимптотической устойчивости (гл. II, § 1,
определение 4) остается доказать, что для каждого нетривиального решения
х = х^)фО (t"^t<^oo), где : х (t0) ij sg h H и h достаточно мало,
справедливо равенство
lim дс(0 = 0. (4.4.1)
t-+CO
Рассмотрим функцию
V (() = V (t, х (t)).
Так как в силу условия теоремы
*Ю = Ж<0'
то функция v (t) монотонно убывающая и, будучи ограниченной снизу, имеет
конечный предел
lim v (t) - inf v (t) = а>г 0. (4.4.2)
i*-ЮО t
Покажем, что число а не может быть положительным. Действительно,
предположим, что а^>0. Тогда наше нетривиальное решение x(t)
