Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
(4.10.8), учитывая соотношение (4.10.7) и используя неравенство Коши,
имеем
V л (х) || jc |i4 + j (grad V, ср (t, х))\^
|| jc ||'2 -|- 2 || S j) || jc || s у jc || =
= - || x jl2 (1 - 2s || .S ||) < - у || л: ii3 < 0, (4.10.10)
если только 0<CS<C~4|| $ ц ~ и 0 <С II х 11 <С^=> причем V'., (0) = 0.
Таким образом, для системы (а) в некоторой окрестности точки О существует
положительно определенная функция V (х), не зависящая от времени t и
допускающая отрицательно определенную производную УаС*). в силу этой
системы.
На основании ^второй теоремы Ляпунова (§ 4) тривиальное решение je = 0
системы (а) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при t~y-{-oo.
Следствие. В условиях теоремы тривиальное решение х = 0 экспоненциально
устойчиво при t->oо (см. теорему из § 8).
Замечание. Доказательство теоремы можно получить также с помощью метода
вариации произвольной постоянной, исходя из формулы
x(t) = E (t) х (0) -f j E (t - x) cp (x, x (x)) dx
v0
и применяя неравенство Гронуолла-Беллмана (ср. с теоремой 2 из § 12 гл.
II).
Из теоремы Ляпунова, в частности, вытекают достаточные условия
устойчивости состояния равновесия.
Пусть нелинейная автономная система имеет вид
%=fiy\ (4.10.11)
где
/W€C2(II^II<//).
Если
/М=о (II д^о II < Н),
тоу=:у0 есть состояние равновесия системы (4.10.11). Положим
У =Уо + X.
УСТОЙЧИВОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
261
Т огда
где
/tv) =/(3'о) +/' CVo) JC + о (II JC II) = Ах + о (II jc II), А =/' Оо) =
[/?*(Уо)]
- матрица Якоби.
Принимая х - отклонение вектора у от положения равновесия _ув - за новую
переменную, будем иметь
На основании теоремы Ляпунова имеем следующий результат.
Теорема. Если все собственные значения матрицы Якоби f (У о) имеют
отрицательные вещественные части, то состояние равновесия у =у0
нелинейной автономной 0 системы (4.10.11) асимптотически устойчиво по
Ляпунову при t -*¦ оо.
Пример. Уравнение нелинейных колебаний маятника в сопротивляющейся среде
имеет вид
Исследуем устойчивость состояния равновесия: 0О = 0, = 0
системы (4,10.13).
Вводя обозначения
Ж = Ах-\-о( 11 JC 11).
(4.10.12)
6 -j- аб -j- b sin 0 = 0,
где 0-угловая координата (рис. 38), а а, b - положительные постоянные.
Отсюда получаем систему
Рис. 38,
_у=(0, со) И УО = (0О, Ю0),
будем иметь
О)
fiy)
аи> - b sin 0
и
Следовательно,
Отсюда получаем характеристическое уравнение
- X 1
262 второй метод Ляпунова j гл. rv
Так как а > О и 6 > 0, то для характеристического уравнения выполнено
условие Г\рвица и, следовательно, исследуемое состояние равновесия
асимптотпчески устойчиво.
Теорема неустойчивости. Пусть квазилинейная система
d-?t = Ax-\-<?(t,x), (4.10.14)
где A ~\ajk] - постоянная матрица и ср (t, х) ? С (// X II х || Я)
такова, что
_Ф_[?1хЬ1 -> q дг -> 0.
X ' I ^
Если хотя бы одно собственное значение Х/- = Х/(Л) (j= 1,.--, п) матрицы
А обладает положительной вещественной частью, то тривиальное решение х ==
0 этой системы неустойчиво по Ляпунову при /-*оо.
Доказательство (см. [6]). Без нарушения общности рассуждения можно
положить
ReA,(4)>0 (/=1, т)
и
ReXm+fe(v4)^0 (k=l, ..., п - т),
где ! • т ¦ ti ]). Пусть S - постоянная неособенная матрица, приводящая
матрицу А к почти треугольному виду (см. следствие 2 теоремы 2 из § 6 гл.
I), т. е.
S-MS = A + fl,
где A = diag(X,, .,., Х"), В = \bJh], bjk = 0 при / Зэ k и |]
В |] ==?е0,
причем положительное число г0 может быть выбрано сколь угодно
малым.
Произведем в системе (4.10,14) замену переменной:
x = eatSy, (4.10.15)
где а-положительное число такое, что
0<[а<[ min Re Ху (Л),
I ^/=5 т
а матрица 5 и вектор у, вообще говоря, комплексные. Тогда будем иметь
e*S + e°'aSy = ё! A Sy + tf (t, eatSy),
т. e.
j = (A - *E)y + By + Ц (I, y), (4,10,16)
*) В дальнейших рассуждениях мы предполагаем, что men, так как при т = п
доказательство теоремы очевидным образом упрощается.
S 101
УСТОЙЧИВОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
263
где матрица Л - яЕ не имеет собственных значений с нулевой вещественной
частью и
Так как
у) = е 1 ф (f, e^Sy).
Ф (t, х)
;s || х || при
;А(6) (h (г) > 0),
то
если
У) II ^е II х II гее*'' II S
S 1 || гё" || S || || у
У II >
: /г (s), т. е. если гем || S || ^(s),
(4.10.17)
где s0 произвольно мало.
Полагая у = colon (уу........у"),
<И0 У) = colon [ф,(0 у)........ф"(*. у)]
И
().5 = а5(Л) - a (s=l.........п),
систему (4.10.16) можно записать в координатной форме '( = \Х\У\ Ьпу$ -|-
• • - -|- binyn -j- (t, У),
гЧУ-з ЬгпУп Ф-i (0 У),
dyj
dt
dy,t dt '
(*¦пУп ~I- Vn (t, y),
(4.10.18)
где Reu.;>0 (/=1, ..., tn) и Re[j.m+/;<0 (/e=l, ..., n - tn). Отсюда,
переходя к комплексно-сопряженным величинам, получим
dy,
dt
dy2
dt
djn
dt
= Iх iV\ Ьпуч . -f- blnyn -|- б, {t., y), РгУ-г i>.inyn -f- (t,
y),
Мл + Фл У)
(4.10.19)
Пусть
V(W=^
j= 1
yj\
k = i
264 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
Так как
Tt '¦ У'"to (8=1¦ п)•
то из уравнений (4.10.18) и (4.10.19) будем иметь
т п - т
V(y)= 2 Re V-j ! У' ? + 1j < - Re IW*) ' Ут-уЬ Г + P it, y) II
