Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
система
dx
Ht = х
правильная.
Доказать,- что существует ее нормальная фундаментальная матрица
t
J D(tv)dti X(t) = Ф (t) eta
где D (0 = diag [an (t), ..., ann(t)\ и
Х[Ф")]=Х[Ф-1 (01=0.
19. Доказать, что если р (t)- непрерывная "-периодическая функция
такая, что
со
рУ)фО, р (<) = -! ^ p(t)dt ^0,
о
и выполнено условие
со
со \* I р (t) I dt -с 4,
то все решения скалярного уравнения
X ~\- р (t) х = 0
ограничены (см. [39]).
20. Пусть для ^-периодической системы
§=A(t)x,
где A (t -|- м) = A (t), все мультипликаторы по модулю отличны от
единицы. Доказать, что неоднородная система
~ A (t)y-f- exp (iat)f(t),
230 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (ГЛ. Ш
1де а = const и f(t) - w-иериодическая вектор-функция, имеет единственное
ограниченное решение у (t), обладающее свойством
у (t + ") = ехр у (0
(см. [40J).
21. Характеристические показатели Ляпунова ап линейной системы
iit==AU)x
называются устойчивыми, если для всякого е>0 существует & = 5(е)>0 такое,
что при
II Д (/)|| <6
соответствующие характеристические показатели 81, возмущенной си-
стемы
^-=\A(t) + B(t)\y
удовлетворяют неравенствам
I h - ak I < ? (*= 1, п).
Доказать, что если .4(/) = const и собственные значения ее имеют простые
элементарные делители, то характеристические показатели системы С***)
устойчивы.
Замечание. Теорема для постоянной матрицы А верна в общем случае
(Персидский), однако доказательство ее значительно сложнее.
22. Показать, что характеристические показатели скалярной системы
dx
~ - -х,
= [sin (ln /) -|-cos (ln /) - 2] у
не являются устойчивыми (см. [21]).
23. Пусть нелинейная система
- у),
где А - постоянная матрица и f(t, у) - непрерывный нелинейный член,
такова, что: a) ReXy(^)sS0 (/'=1, ..., п), причем корни >7-(Л) с нулевой
вещественной частью имеют простые элементарные делители; б) \\f(t, у) j|
<*(*) II.У II. гДе
СО
^ k (t) dt < со.
h
Доказать, что эта система асимптотически эквивалента соответствующей
линейной системе
dx
= Ах
dt
(см. [24]).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ш 231
24. . <усть постоянная матрица А имеет характеристические корни
tj=\f(A) (j = 1, п) с простыми элементарными делителями и
^t-=[A + B(t)\y,
где
оо
j || б (t) || dt < оо. о
Доказать, что существует фундаментальная система решений y/(t) (/= 1, ...
, п) таких, что
lim yj(t)e X>' = Cj,
t -> ОО
где Cj - соответствующие собственные векторы матрицы А (см. [28]).
25. Доказать теорему: Пусть X(t) (X(0) = ?) - нормированная
фундаментальная матрица системы
§=A(t)x,
где A (t) ? С [0, оо), и пусть В (t) ? С [0, оо) - (п X "(-матрица такая,
что
ОО
j \\X-l(t)B(t)X(t)\\dtcco. о
Тогда решения системы представимы в виде
y = X(t) с (t),
где существует limc(<) = e00, причем (са>}~( - оо, -|-°°) (Б е б е р н е
с).
/ -> СО
26. Доказать теорему Беллмана: Если
%=втг
и
оо
j II B(t)-A (В) SS |j X(t) II II X~l (t) |j dt < oo,
0
где X(t) - A(t)X(t), X(0) = E, to
y = X(t)c^- о (||-V(OH)
(с - постоянный вектор).
27. Пусть
dx . ...
Ж = А(()Х
- действительная ш-периодическая система и р/ (у=1, ... , п) - ее
мультипликаторы.
232 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. Ill
Показать, что мультипликаторами сопряженной системы
dt *
1 • ,
являются числа - (/=1, ... , п).
Р j
28. Доказан,, что если действительное скалярное уравнение
х), (в:***)
где f(t, х) ? С (If х в%'х), + x)=f(t, х), имеет положительно
.огра-
ниченное решение ? = ?(<) (t0s^t< оо), то существует "-периодическое
решение уравнения (****) (М а с с е р а).
29. Пусть
х= F(t, х),
где F ? С (If X !! х || < N), причем
Н F(t, X) || (t) ;| X |!
И
оо
J ^ (t) dt < оо.
to
Доказать, что если jc(<0) достаточно мало по норме, то: 1) решение х (t)
определено при t ? [<0, со) и 2) существует
lim x(t) = xm,
t -> СО
отличный от нуля, если jc(<)^0.
30. Показать, что уравнение
гд е/(/)?С( - со, +°о) и f (t), имеет to-периодическое общее
решение тогда и только тогда, когда
\f(t)dt = о.
31. Пусть /(X)- (п х ")-клетка Жордана, имеющая собственное значение X,
и
f(t) = colon [fl (t), ... ,fn(t)\
- непрерывная ш-периодическая вектор-функция.
Доказать, что уравнение
% = J(Vy + euf{t)
имеет решение вида
у = еиф (t),
где ср (t) - ш-иериодическая вектор-функция, тогда и только тогда, когда
(!)
[fn(t)dt = 0.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ !П '233
32. Пусть линейная однородная система
с постоянной матрицей Л асимптотически устойчива, а неоднородная
возмущенная система
%=lA + B(t)]y+f(t) (II)
ОО
такова, что: 1) В (t), f(t) ? С [t0, со) и 2) (j [j В it) \
dt < со, f(t)-* 0 при
t-> со, или же 2') B(t)~* 0 при t-* со и j \\f{t)\\dt<co.
Тогда все реше-
тя у (t) системы (II) имеют предел
lim у (t) = Q.
t-KX>
ГЛАВА IV
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
§ 1. Приведенная система
Пусть дана действительная нелинейная дифференциальная система
(4-1.1)
где Qy11 (2) и Q = {a</<co, (а-число или символ
- оо, G - открытое множество действительного евклидова "-мерного
пространства еЙ'р. Тогда для каждой точки (t(), уп) Q справедлива
локальная теорема существования и единственности решения у -у (i', t0,
