Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
СО
exp (1-15.3)
р = 1
из которого вытекает, что коэффициенты при одинаковых степенях г
степенных разложений левой и правой частей равенства
(1.15.3) совпадают между собой. Так как квадратная матрица Z
коммутирует со своими степенями, то степенное разложение левой
части равенства (1.15.3) формально совпадает с соответствующим
матричным степенным разложением
СО СО со
exp
р = 1 д = 0 р=1
со
где принято Z° = ?. Поэтому, если матричный ряд ^ zp
р = >
сходится, то имеет место тождество
СО
exp ^ Zp~E-j-Z (1.15.4)
р = !
Отсюда, учитывая, что матрица Е перестановочна с любой матрицей того же
порядка, и используя основное свойство экспоненциала матрицы, будем иметь
СО
еу - ехр (Е Ln X,) • exp ^ (~~^Р -{y-Y = Х^Е + ~'¦ = XtE -4-
р = 1
Следовательно.
У = Ln А',
ЛОГАРИФМ МАТРИЦЫ
б!
Таким образом, принимая во внимание, что /f = 1р при р <^е, и 1р = 0 при
р^еи окончательно получим
<>, - 1
LnX = LnJ1(/.I) = ?LnX1 + ^ (1Л5'5)
Р = 1 Pl
2) Пусть теперь X - произвольная неособенная матрица. Приводя X к
канонической-форме Жордана, будем иметь
X = S'1 diag [/, (X,), ..., Jm(km)]S,
где S - неособенная матрица и Jq{kQ) (q = 1, .т) - соответ-
ствующие клетки Жордана. Можно принять
Ln X - S_1 diag [Ln Ji (X,)......LnJm(Xm)]S, (1.15.6)
где Ln Jq Q.q) определяются по формуле (1.15.5).
Действительно, аналогично формуле (1.13.2) имеем
eLn X - <J-1 tJiag [gLn Jl (до ^ _
"Ln (K
]S =
¦¦ S_1 diag [/, (X,),
Jm (km)]S = X,
что и подтверждает формулу (1.15.6).
Теорема доказана.
Замечание 1. Из формул (1.15.6) и (1.15.5) следует, что LnX есть функция
многозначная.
Замечание 2. На основании следствия теоремы 2 из § 6 и из формул (1.15.5)
и (1.15.6) вытекает, что если Х?(<7=1,..., т) суть собственные значения
неособенной матрицы X, то LnX (<7=1, ..., т) являются собственными
значениями матрицы Ln X, причем X и Ln X имеют одинаковые порядки ед
соответствующих клеток Жордана.
Замечание 3. Если (п X ")-матрица X действительная и положительно
определенная, т. е. все собственные значения ее Х,(Х) (/=1, п)
положительны, то имеется вещественная матрица S, приводящая ее к
жордановой форме. В этом случае, как видно из формулы (1.15.6), для
матрицы X существует действительный In X.
Пример. Найти Ln А", где
1 (Г Х= 0 1 1 _° 0 1.
Используя формулу (1.15.5), получаем
2 kni
Ln X = ti Ln 1 -j-11 0 - a - q
0
2 kni 0
2
1
2k-ni
(k - целое;
62 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ IГЛ. I
Нетрудно убедиться, что если неособенные матрицы X и Y коммутируют между
собой, т. е.
XY = YX,
то
Ln (ХН) = Ln X -f- Ln Y, где ветви логарифмов выбираются соответствующим
образом.
Упражнения к главе 1
1. Показать, что верхняя треугольная матрица
! 0 712 ••• 1т
Г =
О О
••• Ъп
0 0 ... 7n_j, п
L.0 0 ... 0
с нулевой диагональю нильпотентна, т. е.
Г" = 0,
где п - порядок матрицы.
2. Пусть Т-верхняя треугольная матрица вида
Т=аЕ-\-Т (a^zfzO),
где Г - сумма косых рядов от 1-го до (п - 1)-го.
Показать, что
Т~1 = сГ*? - сГаГ + а"3Г2 + (-1
3. Пусть Е-А - неособенная матрица. Показать, что
(Е - АГ1 А = А(Е-А)~1.
4. Показать, что если
А = diag [Уi (ht), ..., Jm (7'm)],
то
.4- = diag [- А (- i) , ...
(Ig^bO, q= 1, ..., m).
5. Доказать, что для всех квадратных матриц X определены аналитиче^
кие функции
sinX=X- + -...
И
cosX=?-^X2 + l^-...
Найти sin J (<*), где J (а)-клетка Жордана.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
63
6. Пусть Г - сумма косых рядов от 1-го до (п - 1)-го. Показать, что
(л -1)!
ег = Я + Г + 1гз + ...+
г"-
7. Пусть
¦s е2 о ... О О
О S Е, ... О О
ООО ... S Е2 ООО ...OS
- матрица типа 2р X 2р, где
S =
и Е2 - единичная матрица второго порядка. Показать, что
ед,=
где
f = е
t cts
11
JS
e
0
a/ COS
sin
tP~
tP~
js
JS
••• (р-1)!
JS
ч.
fj
8. Пользуясь формулой Сильвестра, найти ех, если
г2 1-
X
-к а-
9. Для матриц второго порядка X найти представление аналитической
функции F(X) в виде полинома в следующих случаях: 1) неравных
характеристических корней }.2 и 2) равных = Х2.
10. Найти Ln А, если
А =
cos а sin а
{а действительно).
in al
OS aj
~ Sin COS
ГЛАВА !!
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Основные понятия теории устойчивости
Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
= Уи Уп) (/=!,•••, п), (2.1.1)
где t - независимое переменное (время); уи ..., уп - искомые функции; fj
- функции (в общем случае комплекснозначные), определенные в некотором
полуцилиндре;
Z - IJX Dy, It = {t_<t<-\-oo)1),
причем t-число или символ - оо и Dy- открытая область действительного
или комплексного SRy "-мерного век-
торного пространства. В дальнейшем для краткости систему (2.1,1) будем
называть дифференциальной.
Переходя к матрично-векторным обозначениям
У\
У= : = С010П (уи уп),
-Уп'
f(t, у) = colon [/j (t, у), fn(t, у)]
и учитывая, что
систему (2.1.1) можно записать в виде матрично-векторного уравнения
У). (2-1.2)
Действительную или комплекснозначную вектор-функцию у = =y(t)czC1,
