Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
найдется точка у0, порождающая в момент времени /" решение у (/),
непродолжаемое при t<^oo.
Аналогично, тривиальное решение (положение равновесия) т] = 0 неустойчиво
(рис. 5), если для некоторых s0, 4 ?= (а, ос) и лю-
= Д (/,))> 0 такое, что все решения у =у (I) (t0 ==c t оо),
удовлетворяющие условию || у (/0) - т] (/") || Д, обладают свойством
Таким образом, асимптотическая устойчивость есть "устойчивость с
нагрузкой", т. е. устойчивость при наличии дополнительных условий. В
частности, тривиальное решение т](/) = 0 асимптотически устойчиво, если
оно устойчиво и
Шар ||.у|1<^(Л)) при фиксированном является областью притяжения положения
равновесия О.
Определение 5. Пусть система (2.1.2) определена в полупространстве й = {
t t со } X { || X || со }.
Если решение к] = т] (/) (а t со) асимптотически устойчиво при t > со и
все решения у =у (() (/" t < со, (п^>а) обладают свойством (2.1.5), т. е.
Д = со, то решение т) (/) называется асимптотически устойчивым в целом.
Иными словами, в случае асимптотической устойчивости в целом решения т)
(/) его областью притяжения в любой начальный момент t = t0 является нее
пространство ЭДу (Д = со).
Пусть наряду с системой (2.1.2) имеется возмущенная система
У
бого 8^>0 существуют решение у/, (t) и момент /j ]> t0 такие, что
Определение 4. Решение т] = т] (/) (а оо) на-
зывается асимптотически ус-
0
Рис. 5.
7 тойчивым при j-oc, если:
1) это решение устойчиво по Ляпунову и 2) для любого /" ? (а, со)
существует Д =
lim || у (() - т] (/) || =0.
(2.1.5)
lim >> (0 = 0 при \\у (/") || <Д.
/ -v со
(2.1.6)
где
2-colon (zb ..., zn) и ф (t, z) (Z).
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
69
Определение 6. Решение т| = т| (t) (а I оо) системы
(2.1.2) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях ф
(t, г) (см. [14]), если для любых ?^>0 и tQ(?(a, оо) существует 5 = 8 (г,
tQ) ^>0 такое, что при || ф (t, z) || <3 все решения г=г (t) системы
(2.1.6), удовлетворяющие условию || z (t0) || <^S, определены на
промежутке [/0, °°), причем
II Z (t) - Т| (t) || <г при г0^/<оо.
Замечание. Если решение т| = т| (t) (а t оо) системы
(2.1.1) с непрерывной правой частью устойчиво для какого-нибудь
фиксированного момента t0 ? (а, оо), то оно будет устойчиво для любого
другого момента t'Q ? (а, оо), т. е. является устойчивым в смысле
определения 1.
Действительно, пусть при
I! У (to) - Л (to) || <8 (е, М<е (2.1.7)
имеем
I! У (t) - Л (t) || <е Для ffl==?f<oo. (2.1.8)
В силу свойства интегральной непрерывности существует 8' = = &(s, t0)^>0
такое, что если
Н^Ю-Л(0||<8', (2-1.9)
то
||у(0-TlW ||<3(е, 4) = 8- при f?[tn, tn\.
Поэтому на основании формул (2.1.7) и (2.1.8) из неравенства (2.1.9)
вытекает неравенство
\\y(t) -Л (t) Ц <е при /Os=:/<oo.
Таким образом, можно ограничиваться проверкой устойчивости решения, а
также его асимптотической устойчивости, лишь для некоторого заданного
начального момента tQ.
Отсюда также получаем, что если решение т|(/) (а<7<^оо) неустойчиво при t
= te, то оно является неустойчивым для любого другого момента tQ ? (а,
оо).
В дальнейшем для теорем устойчивости мы, как правило, начальный момент t0
будем считать фиксированным (см. [14], 115], 1161).
70
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
§ 2. Общие свойства решений линейной дифференциальной системы
Рассмотрим линейную дифференциальную систему
П
4t= + (/ = 1> П), (2.2.1)
к = 1
где a.jk(t), f, (t) е С (П, т. е. коэффициенты системы и свободные члены
ее непрерывны в интервале I+ = (a<^t<^оо), причем а - число или символ -
оо. Если не оговорено противное, то функции ajk(t) и fj(t) предполагаются
действительными. Что касается решений yj = yj\t)(j= 1, ..., п), то,
вообще говоря, мы будем считать их комплекснозначными.
Можно также предполагать функции ajk (0 (А * = 1 > • • •> ") и fj (t)(j=
1.....п) кусочно непрерывными на /+. В этом слу-
чае под решением yj(t)(j- 1, п) понимаются непрерывные на /+ функции,
удовлетворяющие уравнениям (2.2.1) в интегральной форме
t П
Уj (0 = С; + J 12 ajk (т) ук (т) -f fj (T)]dT
/о А= 1
(/ = 1, ..., п; t0 ? /+; Cj - постоянные).
Введя векторно-матричные обозначения
у = colon [г/ь ..., уп], A (t) = [ajk (/)],
/(0 = colon [/, (t), ... , fn(t)],
систему (2.2.1) можно записать более просто:
% = A(t)y+f(t), (2.2.2)
где Л(0?С(/+), /(()еС(П.
Для линейной системы (2.2.2) справедлива следующая теорема существования
и единственности решений (см. [9] - [11,]): для любой системы чисел /0 ?
/+, у" = colon [г/0], ..., г/0"] существует решение y=y(t) системы
(2.2.2), определенное для всех t /+ и удовлетворяющее начальному условию:
У(*о)=Уо, (2.2.3)
причем решение с такими свойствами единственно в /+.
Пусть
X (0 = [xJk (01 (det X (t) Ф 0) (2.2.4)
- фундаментальная матрица (иными словами, фундаментальная система
решений, записанная в виде (п X п) -матрицы) соответствую-
§ 2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ .71
щей однородной дифференциальной системы
Yt = A(t)x, (2.2.5)
