Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
а (А) = in in X,- (А), А (А) = max Ху (А).
/ '
Для эрмитовой матрицы А существует унитарная матрица U, переводящая ее в
диагональную D = (Xb 1п), т. е.
U AUl = U AU* = D,
Полагая
у - Ux
и
х = U~ly - U*y, х* =y*U,
имеем
V (х) =y*UAU*y =y*Dy = ^ hyjyj = S M У> I*-
Отсюда
Х(Л)!з>Г2"с^ (*)=s? Л (Л) I !*.
где
2 Б. П. Демидович
34 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1РЛ. 1
Используя формулу (1.5.23), будем иметь
(у, у) = [Ux, Ux) = {x, U*Ux) = {x,-x),
т. е.
\У\ = \х\.
Таким образом, окончательно получаем
к{А)\х\*^У {х)^А(А)\х\*, (1.5.25)
причем равенства слева и справа достигаются при собственном векторе X,
отвечающем, соответственно, наименьшему характеристическому числу X (А) и
наибольшему характеристическому числу Л (Л) матрицы А.
Неравенство (1.5.25) имеет место также для действительной квадратичной
формы V (х).
Определение 9. Действительная квадратичная форма
V(x) = (Ax, х) (ЛГ=Л)
называется положительно или отрицательно определенной, если,
соответственно,
1/(лг)>0 при х 9^ О
или
У(лг)<^0 при ЛГ96О,
причем, очевидно, V(0) = 0.
В этом случае поверхности уровня
V (х) = const
представляют собой (п-1)-мерные эллипсоиды пространства <Мп.
Из неравенства (1.5.25) вытекает, что квадратичная форма V (JC) является
положительно определенной тогда и только тогда, когда все собственные
значения ее матрицы А положительны, т. е.
X (А) = min(А) ^> 0.
/
Аналогично V(л;) представляет собой отрицательно определенную
квадратичную форму тогда и только тогда, когда все собственные значения
ее матрицы А отрицательны, т. е.
Л (А) = min (А) <' 0. j
Если А - произвольная матрица, то матрица А*А, очевидно, эрмитова, и так
как
(А*Ах, х) = (Ах, Ах; =| Ах |4,
§ 61 ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ 35
то при А =? 0 все ее собственные значения А; [А*А) положительны; если же
А = 0, то они равны нулю. В функциональном анализе показывается, что за
норму матрицы А можно принять число
Л = |/'.\(Л*Л).
где Л (Л*А) = шах Ху- (А*А).
}
В частности, если вектор х рассматривать как вектор-столбец: = colon (хи
хп), то имеем
Х*Х = \Х\*
и, следовательно,
II* || = |*|.
Таким образом, введенная выше норма вектора согласована с его длиной.
Отметим, что из соотношения (1.5.25) имеем || А || = шах = шах (Ах).
хфо 1*1 1*1 = 1
§ 6. Жорданова форма матрицы
Пусть Л = [а/Й,]-квадратная матрица порядка п и
Д (X) = det (кЕ - Л) = 0 ') (1.6.1)
- ее характеристическое или вековое уравнение [4], (5]. В раскрытом
виде имеем
X - ап а12 ¦ • • - а1п
Д(Х) = - а.21 А. $22 • ¦ - а.1п
- ani (r)П2 - ¦ Ъ - апп
Обозначим через Хр (р= 1, ..., п) корни характеристического уравнения
(1.6,1) (характеристические корни или собственные значения матрицы А).
Можно доказать (см. приложение), что с помощью преобразования подобия
J = SAS~l (1.6.2)
*) Иногда характеригтическое уравнение матрицы записывают в эквивалентном
виде det (Л - ХЯ) = 0.
2*
36
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
| ГЛ. I
(det S 7^ 0) матрица А может быть приведена к квазидиагональ-ной форме
Жордана
*/ = diag [У] (Xj), Jm(lm)} (т^п),
- так называемые клетки Жордана, причем каждому характеристическому
корню \р кратности ар соответствует одна или несколько клеток Жордана
размерами ер\ е[р такие, что
Легко убедиться, что каждой клетке Жордана Jр(Хр) порядка ер с точностью
до нулевого скалярного множителя отвечает один и только один собственный
вектор матрицы А, имеющий в надлежащем базисе вид
причем различным клеткам Жордана соответствуют линейно независимые
собственные векторы. Поэтому постоянная г, так называемая степень
вырождения соответствующего собственного значения \р, представляет собой
максимальное число линейно независимых собственных векторов матрицы А,
соответствующих X
В общем случае г sg ар. Если степень вырождения характеристического корня
X равна его кратности, т. е. г = з.р, то, очевидно, ер] = ... =ер'=1.
Таким образом, в этом случае все соответствующие клетки Жордана будут
содержать по одному элементу (простые клетки).
то характеристический полином Д (X) (1.6.1) может быть представлен в виде
A(X)=det (X?_/) = (X-X1)V..(X-U?m (*i + • • ¦ + = n),
где
lf 1 0 ... 0~
o xp 1 ... 0
¦W =
о 0 0 ... 1
о 0 0 ... X
(p= 1, ..., m\ ejSs 1, ..., emSs 1)
= colon (0, ..., 0, Ip, 0, ..., 0),
где 1р?Еери
JP^P)1P = KIP (Sp^0)
Так как
IE = S~1IS и A=S~4S,
ЖОРДЛНОВЛ ФОРМА МАТРИЦЫ
37
где Хь ).т - характеристические числа матрицы А, соответствующие
различным клеткам Жордана (не обязательно различные между собой).
Множители (X- Xp)ep(p= 1, т) называются элементар-
ными делителями матрицы А, а натуральные числа ер (т. е, размеры
(порядки) клеток Жордана) - показателями элементарных делителей,
соответствующих характеристическому числу Х" или линейному множителю X -
X
Если все характеристические числа Хр имеют простые элементарные делители
(ер-1), то матрица Жордана ./ будет чисто диагонального вида:
J =
К
х2
= diag(Хь , Хи),
причем числа кр (/?=1..........п) не обязательно различны. Это
