Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
типа т'Хп', где п = т', понимается матрица
А В = (J aJsbsk)
5-1
типа т X п'.
Аналогично, если т = п', то
ТП
В А = (? arf6/s)
5~1
есть матрица типа п X т'~
Пример.
а, bt Ci X atx + biy-j-c^ '
e2 У = a2x -)- bsy -)- c2z
J u5 *вГ аъх-\-Ьъу-\-слг
В общем случае даже для квадратных матриц
АВфВА.
Пример.
ГО ПГО 01 Г, 01
[ooJ[ioJ |ooJ'
ГО 01 ГОП ГО 0]
LioJLooJ Loij-
Если А, В, С - матрицы и a - число, то справедливы следующие свойства:
1) (А+В)С = АС+ВС;
2) А (ВС) = (АВ) С;
3) а (АВ) = (аЛ) В = А (яВ).
Из определения 5 следует, что квадратные матрицы А = (aJk) и В = (bJk)
допускают перемножение друг на друга в любом порядке тогда и только
тогда, когда они одинакового порядка. В этом случае
det (АВ) = det (ВА) = det А • det В.
Единичная (п X п)-матрица
Е" = Е = (§jk), где bJk - символ Кронекера, т. е.
8 ^f1' если i = k' ik [О, если j Ф k,
14
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(ГЛ. I
играет роль единицы при умножении:
ЕА = АЕ = А,
где А - любая квадратная матрица, одинакового с Е порядка. Определение 6.
Матрицу
0...1 0...0 O'...О 1 ...о
1р = (Ък) =
0...0 0...1
п-р,
где
и
_0...0 0...0
T/W + p=1 (/ = 1..я - Р)
yk = 0 при k - j^p (0^р^п-1),
будем называть р-м единичным косым рядом (верхним) порядка п (см. [1]).
Очевидно,
10 = Е.
Лемма. Если I р и Iq - единичные косые ряды одного и того же порядка п,
то
I pIq = 1Р + q при 0^p-\-q^n - l
и
I pi g = О при p-\-q^n. Доказательство. Пусть
I р == (&jk) > I q == (bjk) > ^ I^ Я (pjk) •
Имеем
?jk --- -J ft/s^sk-
Из определения 6 следует, что cjk равно 0 или 1, причем cJk - 1 тогда и
только тогда, когда для некоторого s имеем
s-j = p, k-s = q. (1.1.2)
Отсюда при p-\-q<^n получаем
k - j = p + q.
§ 1] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 15
Следовательно,
/р/д = /р+д ПРИ 0^Р + Я<п.
Если же p-\-q^n, то равенства (1.1.2) не могут быть выполнены
одновременно. Поэтому
1р1д = 0 ПРИ р +
Замечание. Если условно полагать 1р = 0 при р^п, то всегда
(Р> 4Ss°)-
Следствие. Если р - натуральное число, то
(1.1.3)
р раз
Определение 7. Если А= (ajk) есть матрица типа mXn, то матрица
AT=(akJ)
типа пХя называется транспонированной по отношению к матрице А.
Матрица А называется симметрической, если
АТ=А\
и кососимметрической, если
АТ= - А.
Для матриц А и В, допускающих указанные действия, справедливы
соотношения:
1) (АТ)Г=А;
2) {о.А -f- $В)Т =аЛ1РВ7 (а и Р- числа);
3) (АВ)Т = В1АТ.
Если А - квадратная матрица, то
det AT=tetA.
Определение 8. Если A = {ajk), то матрица
А = (ajk)
(где ajk - сопряженные величины для ajk) называется комплексно-
сопряженной для матрицы А.
Если А-квадратная матрица, то, очевидно,
det А = det А.
16 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ | ГЛ. I
Матрица
А* = АТ =(ак])
называется эрмитово-сопряженной или просто сопряженной для матрицы А.
Очевидно, выполнены соотношения:
1) (Л*)* = Л;
2) (Л + В)* = Л* + В*;
3) (АВ)* = В*А*.
Если
А* - А,
то матрица А называется эрмитовой или самосопряженной.
Действительная матрица А является самосопряженной тогда и только тогда,
когда она симметрическая:
АТ=А.
Определение 9. Матрица Л'1 называется обратной данной матрице А, если
А-'А = АА~1 = Е, (1.1.4)
где Е - единичная матрица соответствующего порядка.
Из условия (1.1.4) следует, что если матрица А имеет обратную А~1, то
матрицы А и Л-1 - квадратные и одного и того же порядка.
Обратная матрица для данной матрицы Л единственна. Действительно, если,
кроме Л-1, существует обратная матрица В, т. е. ВА = АВ = Е, то
В А - Л М.
Отсюда, умножая последнее равенство справа на Л-1, получим
влл-' = л МЛ !,
т. е.
В = А1.
Определение 10. Матрица Л называется неособенной (несингулярной), если
она квадратная и
det Л 9^ 0.
В противном случае матрица Л называется особенной (сингулярной).
Теорема. Всякая неособенная матрица имеет обратную.
§ 1] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 17
Доказательство. Пусть А = [ajk] - неособенная матрица и As=\Alk)T = \Akj)
- союзная матрица, представляющая собой транспонированную матрицу
\Ajk\, элементами которой служат алгебраические дополнения Ajh элементов
а/к.
Рассмотрим матрицу
В:
Л5
det А'
Согласно известному свойству (см. [2]) имеем
АВ= И (2 ""¦"•.) = И <8" • let Л) = ?
S
Н
~ deM (2as/'4sft) = deF7i ^) = ?.
S
Следовательно, на основании формулы (1.1.4) получаем
В = А~\
Таким образом,
Д-1 - ( Ajk \т
[det Aj -
Замечание. Из формулы (1.1.4) вытекает
1) det А л = (det А)~и,
2) (Л-у = (дг)-1;
3) если А и В - неособенные матрицы одинакового порядка, то
Определение 11. Действительная квадратная матрица S, удовлетворяющая
условию:
S-' = Sr, (1.1.5)
называется ортогональной.
Из соотношения (1.1.5) получаем
det S =dt 1.
Пример. Если а действительно, то матрица
Г cos я - sin 1 "I
I sin i cos л J ' как нетрудно проверить, является ортогональной.
18 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ! ГЛ. I
Заметим, что матрица, обратная ортогональной матрице S, есть матрица
ортогональная. Действительно,
