Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференцируемую функцию легко узнать по ее графику: ои ие имеет изломов. Например, иа рис. 18 вы видите график функции,
У
Рис. 18. График функции, непрерывной, но недифференцируемой в
точках cud.
70
непрерывной на отрезке [а, Ь], но педифферсицирусмой в точках с и (1.
Функция }(х) называется дифференцируемой в точке *о, если в этой точке существует производная, обозначаемая f'(xo). Величина j'{xo) имеет простой геометрический смысл: это тангенс угла, образуемого касательной, проведенной к кривой f(x) в точке (хл, f(xo)), с положительным направлением оси х (рис. 19). Функция, дифференцируемая в каждой точке отрезка, называется дифференцируемой па отрезке (который может быть конечным, полубесконечиым (лучом) или совпадать со всей вещественной осью).
У
Рис. 19. Убывание и возрастание функции (в точке Х\ функция f(x) убывает: f (*i.)=tgP<0; в точке х0 функция }(х0) возрастает: /v(*o)=tga>0; в точках экстремумов (минимума х2 и максимума х3) касательная к кривой (/=/(*) горизонтальна: f (xz)=f'(x3)=0).
Функция f(x) возрастает в точке х*, если f(x) < f(x*) при всех .v < х* и f(x) > f(x*) при всех х > х* в некоторой окрестности точки х*. Если функция f(x) дифференцируема и возрастает в точке х*, то f (х*) > 0 (такова, например, точка х<> иа рис. 19).
Функция f(x) убывает в точке х*, если f(x) > f(x*) при всех х < х* и f(x)<f(x*) при всех х > х* в некоторой окрестности точки х*. Если функция f(x) дифференцируема и убывает в точке х*, то f'(x*) < 0 (такова, например, точка xt иа рис. 19).
Если 1'(х*) = 0, то точка х* называется экстремумом. В точках экстремумов касательная к графику функции горизонтальна (см. точки хг и X) иа рис. 19). Если слева от точки экстремума f (х) < О, а справа f(x) > 0, то экстремум называется минимумом. Если слева от точки экстремума f'(x) > 0, а справа ['(х) < 0, то экстремум называется точкой максимума.
Еслв /(*)—дифференцируемая функция и а — произвольное число, то af(x) — также двффереицируемая функция, и ее производ-
71
ная равна aj'(x). Если ]i(x) и fz(х) — дифференцируемые функции; а, b — произвольные числа, то afi(x) + bfz(x)—также дифференцируемая функция, и ее производная равна af' (х) +bf'^(x).
Дифференцировать одночлен хп нас научил Ньютон (см. с. 55), вычисливший «флюксию», т. е. производную «текущего количества» (т. е. переменной величины) хп:
(хп)' = пхп-\
откуда следует правило дифференцирования многочлена: Рп (х) = аохп + ai*"-1 + ... + a„.
Производная многочленов вычисляется по следующей формуле:
Р'п (х) = а0пхп-* + ai (п — 1)хп~2 +... + an-i.
Задача 8. Пусть / — дифференцируемая функция, не равная тождественно нулю на отрезке, н f(a) = /(6) = 0. Докажите, что в какой-то внутренней точке отрезка [а, Ь] функция f(x) по крайней мере один раз достигает экстремума (максимума или минимума).
Задача 9. Докажите, что если f(x) —дифференцируемая функция и f(a)— f(b) = 0, то на отрезке [а, Ь] производная }'(х) нечетное число раз изменяет свой знак.
Но вернемся снова к многочленам, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [— 1, + 1]. Рассмотрим многочлен (это многочлен с коэффициентом при старшем члене, равном единице)
Ps(x) =X*--j-X.
Так как многочлен Рз(х) =х(х2 — 3/4), то нули его
находятся на отрезке в точках Xi = 0, лг2,з = ± У 3 /2. Никаких других нулей (ни вещественных, ни комплекс-
72
ных) у многочлена Рц(х) нет (почему?). Все нули многочлена лежат на отрезке [—1, + 1] и расположены симметрично относительно нуля.
Своего уклонения от нуля многочлен Рз(х) может достигать на концах отрезка и в точках максимума и минимума (почему?). На левом конце отрезка (в точке
х = — 1) многочлен Рз(х) принимает значение Рз(—1) = = — 1/4, на правом конце (в точке х = + 1) —значение
/~з(+ 1) = + 1/4-
Точки экстремумов (максимума и минимума) мы
найдем, приравняв нулю производную многочлена Рз(х), т. е. положив
Р'3 (х) = Зх2 -3/4 = 0
пли
Р'я(х) = 3(х2-1/4) =0,
откуда Xi,2 = ± 1/2. В левой точке экстремума (макси-
мума — почему?) многочлен Рз(х) принимает значение
Рз(— 1/2) = + 1/4, в правой (минимуме — почему?) —
значение Рз(+ 1/2) = — 1/4. Таким образом, значения,
принимаемые многочленом Рз(х) на концах отрезка и в точках максимума и минимума, равны по абсолютной величине и чередуются по знаку:
Рз(- 1) = - 1/4, Рз(- 1/2) = + 1/4, j Рз(+ 1/2) = - 1/4, &(+ 1) = + 1/4. ]
Уклонение многочлена Рз(х) от нуля на отрезке
73
[— 1, + 1} составляет + 1/4. График многочлена Рз(*) представлен на рис. 20.
Докажем теперь, что отклонение любого другого многочлена от нуля на отрезке больше 1/4. Будем рассуждать от противного. Пусть Q3(x) = х3 -f- ах2 -\- Ьх + с — многочлен, уклонение которого от нуля на отрезке
Рис. 20. График кубического многочлена Рз(х) = х3 — 3/4х, наименее уклоняющегося от нуля на отрезке [- 1, + 1].
[— 1, + 1] меньше 1/4. Так как уклонение по определению есть наибольшая из абсолютных величин, достигаемых функцией на отрезке, наше предположение означает, что при всех х е [—1, -4-1]
