Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Особенность дифференциального исчисления состояла в том, что при поиске наибольших и наименьших величин (объединяемых общим названием экстремальных величин) сравнению подлежат значения одной и той же функции. Например, на отрезке [а, Ь] функция, изображенная па рис. 8, имеет три экстремума (общее название максимума и минимума): максимум в точке Ti, минимум в точке 7г и еще один максимум в точке Тз. Заметим, что во всех трех случаях речь идет о локальных (т. е. местных) экстремумах: значения функции в точках Ti, Т%, Тз максимальны и минимальны лишь по сравнению со значениями, принимаемыми функцией в достаточно малых окрестностях точек Ti, Т2 и Тз- Вдали от точек экстремумов функция может принимать значения, которые соответственно больше или меньше экстремальных. Например, значение /(Тз) (локальный максимум) меньше значений, принимаемых при х, достаточно близких к Ti.
Однако в ряде задач сравнивать при поиске наибольшего или наименьшего значения приходится не значения одной и той же функции, а числа, каждое из которых зависит от выбора функции. Например, величина тепло-потерь через поверхность зависит от формы поверхности, т. е. от функции, описывающей эту поверхность. Чем больше поверхность, тем больше теплопотери. Из всех тел данного объема наименьшей поверхностью (вспомним изопифанную задачу древнегреческих геометров)
65
обладает шар. Значит, шар будет остывать медленнее, чем тело того же объема любой другой формы. Pie даром кошка дремлет, свернувшись клубком: этим она минимизирует свою поверхность и, следовательно, остывание.
Для величин такого рода математики придумали специальное название — функционал. Можно сказать, что функционал — это функция, в которой независимой переменной служит не число (точка), а функция (кривая или поверхность). Раздел математики, занимающийся решением задач на наибольшие и наименьшие значения функционалов, стали называть вариационным исчислением.
Как и в случае других задач на максимум и минимум, зачатки вариационного исчисления встречаются в глубокой древности, однако как отдельная наука вариационное исчисление было создано трудами Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница, Иоганна и Якоба Бернулли, Леопарда Эйлера.
Обычно «датой рождения» вариационного исчисления считают 1696 г., когда в июньском томе издаваемого Лейбницем «Журнала ученых» (Acta eruditorum) появилась заметка И. Бернулли «Новая задача, к разрешению которой приглашаются математики». В ней говорилось следующее: «В вертикальной плоскости даны две точки А и В (рис. 11). Определить путь АМВ, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, дойдет до другой точки В в кратчайшее время.
Для того чтобы вызвать интерес со стороны любителей подобных вопросов и побудить их охотнее предпринять попытку разрешения указанной задачи, довожу до их сведения, что эта задача не сводится к пустой умственной спекуляции, лишенной какого бы то ни было практического значения, как это может кому-либо показаться. В действительности она представляет очень большой практический интерес и притом, кроме механики, также
56
и для других дисциплин, что может всем показаться неправдоподобным.
Между прочим (указываю это с целью предупредить возможное неправильное су.чдение), хотя прямая АВ и является кратчайшей линией между крайними точками Л и Б, тем не менее тело проходит ее ие в кратчайшее
Рис. 11. Задача И. Бернулли о брахистохроне.
время и существует кривая АМВ, хорошо известная геометрам. Я назову эту линию, если по истечении текущего года никто другой ее не назовет» [2, с. 19—20].
В назначенный И. Бернулли срок задачу сумел решить только Лейбниц. Кривой быстрейшего спуска, или брахистохроной (кривой наименьшего времени), оказалась лемниската — кривая, действительно, «хороню известная геометрам». По совету Лейбница срок подачи решения был продлен «до ближайшей пасхи» (1697 г.).
Задачу Иоганна Бернулли о брахистохроне, «неслыханную доселе и прекрасную», решили, помимо самого автора, став, по его словам, «великими Аполлонами» его старший брат Якоб Бернулли, Лейбниц, Ньютон и Лоии-таль.
Задачу, в какой-то мере предвосхитившую задачу о брахистохроне И. Бернулли, мы находим в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук» (1638 г.) Галилео Галилея: если из нижней точки круга, возвышающегося над горизонтом, провести
57
плоскость, отсекающую дугу, меньшую квадранта, и из конечных точек этой плоскости провести в какой-либо промежуточной точке дуги две какие угодно плоскости, то время падения по этим двум последним плоскостям будет меньше, чем по одной первоначальной плоскости, и меньше, чем по нижней из двух последних плоскостей. Иначе говоря, по Галилею, движение по дуге круга происходит быстрее, чем по хорде, стягивающей концы дуги, или по любой ломаной, вписанной в дугу.
Но сколь ни ярок и красочен эпизод с брахистохроной, действительно ставший важной вехой в истории вариационного исчисления, все же, говоря о его возникновении, нельзя не упомянуть и другие, менее заметные задачи. Например, П. Л. Чебышев в связи с открытием «нового исчисления, известного под названием вариационного», справедливо указывал па задачу Ньютона об определении формы, при которой «тело, двигаясь в жидкости, наименее встречает препятствия». Здесь мы также имеем дело с величиной (силой сопротивления), зависящей от выбора функции (формы поверхности).
