Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
«В задачах Понселе,— отмечал П. Л. Чебышев,— уравнения, определяющие искомые коэффициенты, решаются легко. Но встречается это только в очень частных случаях. Тем более точное решение не будет возможно, если надо найти общее выражение коэффициентов для представления какой угодно функции, ибо тогда эти уравнения, сами по себе очень сложной формы, содержат произвольную функцию» [28, с. 26].
Метод, предложенный П. Л. Чебышевым,— то самое чудо анализа, которым восхищался Бертран и многие другие математики, сам Чебышев рассматривал как естественное расширение теории наибольших и наименьших величин. Он писал: «Решение задач этого рода составляет предмет так называемой теории наибольших и наименьших величин. Эти задачи чисто практического характера имеют особенную важность и для теории: все законы, определяющие движение материи весомой и невесомой, представляют решение задач такого рода. Нельзя не заметить особенно благотворного влия-
49
иия их на развитие наук математических» [29, с. 150].
Задачи на наибольшие и наименьшие значения известны с глубокой древности, по говорить о том, что уже в античности существовала теория их решения было бы заведомым преувеличением: речь шла лишь об отдельных задачах, которые удавалось решить, используя те или иные их особенности. Так, Симплиций (VI в. п. э.), автор обширных комментариев к Аристотелю, упоминая о задачах на наименьшие и наибольшие величины, отмечал, что среди изопериметрических (имеющих равные периметры) фигур наиболее вместимым является круг, а среди изопифанных (имеющих равные площади поверхностей) — шар.
К изонериметрической задаче — поиску фигуры, обладающей наибольшей площадью, среди всех фигур с одним и тем же периметром — но существу сводится и легенда об основательнице Карфагена Дидоне. В книге 6 (предложение 27) знаменитых «Начал» Евклида (IV в. до н. э.), бывших на протяжении двух тысячелетий не только образцом математической строгости, но и учебником, по которому осваивали геометрию, составлявшую, как уже говорилось, основу математического образования, встречается единственная задача на максимум: в данный треугольник вписать параллелограмм наибольшей площади. Вершинами «самого вместительного» параллелограмма служат любая из вершин и середины сторон треугольника. Таков, например, параллелограмм ADEF, вписанный в треугольник ABC (рис. 10).
Перечень решенных задач на наибольшее и наименьшее значение можно было бы легко продолжить. Ими занимались многие замечательные математики и во времена античности, и позже. Так, Аполлоний Пергский (III — II в. до и. э.), автор трактата «Конические сечения», решил задачу о том, как провести из точки О самый короткий и самый длинный отрезки к коническому сечению.
50
Пытливый взгляд знаменитого открывателя трех законов движения планет Иоганна Кеплера усмотрел нечто необычное в действиях виноторговца, измерявшего количество вина в бочке мерной линейкой, вставленной в отверстие. «В тот год, когда я женился,— пишет Кеплер в своей книге «Новая стереометрия винных бочек»,—урожай вина был хороший и вино дешево, а потому мне, как
хорошему хозяину, следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец — измерить вместимость бочонков, чтоб назначить цену за вино. Для этого он опускал в каждый бочонок железный прут и, не прибегая ни к какому вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина. Бочки были разной формы («пузатости»), и манипуляции виноторговца, хотя и освященные традицией, выглядели весьма странно» [23, с. 95]. Далее Кеплер пишет, что он счел для себя подходящим взять новый предмет математических занятий и исследовать геометрические законы такого удобного измерения и выяснить его основания.
К этому времени Кеплер успел открыть два первых закона движения планет ( 1) планеты обращаются по эллипсам, п одном из фокусов находится Солнце; 2) луч, проведенный из фокуса, в котором находится Солнце, к планете за равные промежутки времени
В
Рнс. 10. Евклидова задача о наибольшем параллелограмме, вписанном в треугольник.
51
«заметает» равные по площади секторы эллипса), опубликованных в «Новой астрономии» (1609 г.). Третий закон, связывающий период обращения с размером орбиты, был открыт позднее и опубликован в «Гармонии мира» (1619 г.).
Заложив по существу основы дифференциального и интегрального исчислений, Кеплер сумел найти ответ на интересовавший его вопрос об удивительном способе измерения емкости бочек, вычислил объемы тел самой причудливой формы («чалма», «яблоко» и т. д.) и дал первые общие правила решения задач на наибольшие и наименьшие величины. Разгадка «шаманских» действий виноторговца оказалась основанной на довольно тонком математическом соображении. «Под влиянием благодатного гения, бывшего, без сомнения, хорошим геометром, бочары стали придавать бочкам ту форму, которая при данной длине линии, измеренной мерщиком, дает возможность судить о наибольшей вместимости бочки, а так как вблизи всякого максимума изменения бывают нечувствительными, то небольшие случайные отклонения не оказывают заметного влияния на емкость» [23, с. 95].
